2023年北京

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2023年高考数学北京1（4分）已知集合

$M=\{x\vert x+2\geqslant 0\}$ ，

$N=\{x\vert x-1 < 0\}$ ．则

$M\bigcap N=($ 　　

$)$
A．

$\{x\vert -2\leqslant x < 1\}$ B．

$\{x\vert -2 < x\leqslant 1\}$ C．

$\{x\vert x\geqslant -2\}$ D．

$\{x\vert x < 1\}$ 【答案详解】

2023年高考数学北京2（4分）在复平面内，复数

$z$ 对应的点的坐标是

$(-1,\sqrt{3})$ ，则

$z$ 的共轭复数

$\overline{z}=($ 　　

$)$
A．

$1+\sqrt{3}i$ B．

$1-\sqrt{3}i$ C．

$-1+\sqrt{3}i$ D．

$-1-\sqrt{3}i$ 【答案详解】

2023年高考数学北京3（4分）已知向量

$\overrightarrow{a}$ ，

$\overrightarrow{b}$ 满足

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2,3)$ ，

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(-2,1)$ ，则

$\vert \overrightarrow{a}\vert ^{2}-\vert \overrightarrow{b}\vert ^{2}=($ 　　

$)$
A．

$-2$ B．

$-1$ C．0 D．1【答案详解】

2023年高考数学北京4（4分）下列函数中在区间

$(0,+\infty )$ 上单调递增的是

$($ 　　

$)$
A．

$f(x)=-\ln x$ B．

$f(x)=\dfrac{1}{{2}^{x}}$ C．

$f(x)=-\dfrac{1}{x}$ D．

$f(x)=3^{\vert x-1\vert }$ 【答案详解】

2023年高考数学北京5（4分）

$(2x-\dfrac{1}{x})^{5}$ 的展开式中，

$x$ 的系数是

$($ 　　

$)$
A．

$-40$ B．40 C．

$-80$ D．80【答案详解】

2023年高考数学北京6（4分）已知抛物线

$C:y^{2}=8x$ 的焦点为

$F$ ，点

$M$ 在

$C$ 上，若

$M$ 到直线

$x=-3$ 的距离为5，则

$\vert MF\vert =($ 　　

$)$
A．7 B．6 C．5 D．4【答案详解】

2023年高考数学北京7（4分）在

$\Delta ABC$ 中，

$(a+c)(\sin A-\sin C)=b(\sin A-\sin B)$ ，则

$\angle C=($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{\pi }{6}$ B．

$\dfrac{\pi }{3}$ C．

$\dfrac{2\pi }{3}$ D．

$\dfrac{5\pi }{6}$ 【答案详解】

2023年高考数学北京8（4分）若

$xy\ne 0$ ，则“

$x+y=0$ ”是“

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=-2$ ”的

$($ 　　

$)$
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案详解】

2023年高考数学北京9（4分）刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体

$ABCDEF$ ，四边形

$ABFE$ 和

$CDEF$ 是全等的等腰梯形，

$\Delta ADE$ 和

$\Delta BCF$ 是全等的等腰三角形．若

$AB=25m$ ，

$BC=AD=10m$ ，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为

$\dfrac{\sqrt{14}}{5}$ ．为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为

$($ 　　

$)$

A．

$102m$ B．

$112m$ C．

$117m$ D．

$125m$ 【答案详解】

2023年高考数学北京10（4分）数列

$\{a_{n}\}$ 满足

$a_{n+1}=\dfrac{1}{4}(a_{n}-6)^{3}+6$ ，下列说法正确的是

$($ 　　

$)$
A．若

$a_{1}=3$ ，则

$\{a_{n}\}$ 是递减数列，

$\exists M\in R$ ，使得

$n > m$ 时，

$a_{n} > M$
B．若

$a_{1}=5$ ，则

$\{a_{n}\}$ 是递增数列，

$\exists M\leqslant 6$ ，使得

$n > m$ 时，

$a_{n} < M$
C．若

$a_{1}=7$ ，则

$\{a_{n}\}$ 是递减数列，

$\exists M > 6$ ，使得

$n > m$ 时，

$a_{n} > M$
D．若

$a_{1}=9$ ，则

$\{a_{n}\}$ 是递增数列，

$\exists M\in R$ ，使得

$n > m$ 时，

$a_{n} < M$ 【答案详解】

2023年高考数学北京11（5分）已知函数

$f(x)=4^{x}+\log _{2}x$ ，则

$f(\dfrac{1}{2})=$ ____．
【答案详解】

2023年高考数学北京12（5分）已知双曲线

$C$ 的焦点为

$(-2,0)$ 和

$(2,0)$ ，离心率为

$\sqrt{2}$ ，则

$C$ 的方程为　____．
【答案详解】

2023年高考数学北京13（5分）已知命题

$p$ ：若

$\alpha$ ，

$\beta$ 为第一象限角，且

$\alpha > \beta$ ，则

$\tan \alpha > \tan \beta$ ．能说明命题

$p$ 为假命题的一组

$\alpha$ ，

$\beta$ 的值可以是

$\alpha =$ ____，

$\beta =$ ____．
【答案详解】

2023年高考数学北京14（5分）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列

$\{a_{n}\}$ ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且

$a_{1}=1$ ，

$a_{5}=12$ ，

$a_{9}=192$ ，则

$a_{7}=$ ____，数列

$\{a_{n}\}$ 的所有项的和为____．
【答案详解】

2023年高考数学北京15（5分）设

$a > 0$ ，函数

$f(x)=\left\{{\left.\begin{array}{l}{x+2,x < -a,}\\ {\sqrt{{a^2}-{x^2}},-a\leqslant x\leqslant a,}\\ {-\sqrt{x}-1,x > a\cdot }\end{array}\right.}\right.$ 给出下列四个结论，正确的序号为____．
①

$f(x)$ 在区间

$(a-1,+\infty )$ 上单调递减；
②当

$a\geqslant 1$ 时，

$f(x)$ 存在最大值；
③设

$M(x_{1}$ ，

$f(x_{1}))(x_{1}\leqslant a)$ ，

$N(x_{2}$ ，

$f(x_{2}))(x_{2} > a)$ ，则

$\vert MN\vert > 1$ ；
④设

$P(x_{3}$ ，

$f(x_{3}))(x_{3} < -a)$ ，

$Q(x_{4}$ ，

$f(x_{4}))(x_{4}\geqslant -a)$ ，若

$\vert PQ\vert$ 存在最小值，则

$a$ 的取值范围时

$(0$ ，

$\dfrac{1}{2}]$ ．【答案详解】

2023年高考数学北京16（13分）如图，四面体

$P-ABC$ 中，

$PA=AB=BC=1$ ，

$PC=\sqrt{3}$ ，

$PA\bot$ 平面

$ABC$ ．
（Ⅰ）求证：

$BC\bot$ 平面

$PAB$ ；
（Ⅱ）求二面角

$A-PC-B$ 的大小．

【答案详解】

2023年高考数学北京17（14分）已知函数

$f(x)=\sin \omega x\cos \varphi +\cos \omega x\sin \varphi$ ，

$\omega > 0$ ，

$\vert \varphi \vert < \dfrac{\pi }{2}$ ．
（Ⅰ）若

$f(0)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，求

$\varphi$ 的值；
（Ⅱ）若

$f(x)$ 在

$[-\dfrac{\pi }{3}$ ，

$\dfrac{2\pi }{3}]$ 上单调递增，且

$f({\dfrac{2\pi }{3}})=1$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求

$\omega$ 、

$\varphi$ 的值．
条件①：

$f({\dfrac{\pi }{3}})=1$ ；
条件②：

$f({-\dfrac{\pi }{3}})=-1$ ；
条件③：

$f(x)$ 在

$[-\dfrac{4\pi }{3}$ ，

$-\dfrac{\pi }{3}]$ 上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案详解】

2023年高考数学北京18（13分）为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用“

$+$ ”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“

$-$ ”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．

时段	价格变化
第1天到第20天	$-$	$+$	$+$	0	$-$	$-$	$-$	$+$	$+$	0	$+$	0	$-$	$-$	$+$	$-$	$+$	0	0	$+$
第21天到第40天	0	$+$	$+$	0	$-$	$-$	$-$	$+$	$+$	0	$+$	0	$+$	$-$	$-$	$-$	$+$	0	$-$	$+$

用频率估计概率．
（Ⅰ）试估计该农产品“上涨”的概率；
（Ⅱ）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（Ⅲ）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）【答案详解】

2023年高考数学北京19（15分）已知椭圆

$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的离心率为

$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ ，

$A$ 、

$C$ 分别为

$E$ 的上、下顶点，

$B$ 、

$D$ 分别为

$E$ 的左、右顶点，

$\vert AC\vert =4$ ．
（1）求

$E$ 的方程；
（2）点

$P$ 为第一象限内

$E$ 上的一个动点，直线

$PD$ 与直线

$BC$ 交于点

$M$ ，直线

$PA$ 与直线

$y=-2$ 交于点

$N$ ．求证：

$MN//CD$ ．【答案详解】

2023年高考数学北京20（15分）设函数

$f(x)=x-x^{3}e^{ax+b}$ ，曲线

$y=f(x)$ 在点

$(1$ ，

$f$ （1）

$)$ 处的切线方程为

$y=-x+1$ ．
（Ⅰ）求

$a$ ，

$b$ 的值；
（Ⅱ）设

$g(x)=f\prime (x)$ ，求

$g(x)$ 的单调区间；
（Ⅲ）求

$f(x)$ 的极值点的个数．【答案详解】

2023年高考数学北京21（15分）数列

$\{a_{n}\}$ ，

$\{b_{n}\}$ 的项数均为

$m(m > 2)$ ，且

$a_{n}$ ，

$b_{n}\in \{1$ ，2，

$\dotsb$ ，

$m\}$ ，

$\{a_{n}\}$ ，

$\{b_{n}\}$ 的前

$n$ 项和分别为

$A_{n}$ ，

$B_{n}$ ，并规定

$A_{0}=B_{0}=0$ ．对于

$k\in \{0$ ，1，2，

$\dotsb$ ，

$m\}$ ，定义

$r_{k}=max\{i\vert B_{i}\leqslant A_{k}$ ，

$i\in \{0$ ，1，2，

$\dotsb$ ，

$m\}\}$ ，其中，

$maxM$ 表示数集

$M$ 中最大的数．
（Ⅰ）若

$a_{1}=2$ ，

$a_{2}=1$ ，

$a_{3}=3$ ，

$b_{1}=1$ ，

$b_{2}=3$ ，

$b_{3}=3$ ，求

$r_{0}$ ，

$r_{1}$ ，

$r_{2}$ ，

$r_{3}$ 的值；
（Ⅱ）若

$a_{1}\geqslant b_{1}$ ，且

$2r_{j}\leqslant r_{j+1}+r_{j-1}$ ，

$j=1$ ，2，

$\dotsb$ ，

$m-1$ ，求

$r_{n}$ ；
（Ⅲ）证明：存在

$0\leqslant p < q\leqslant m$ ，

$0\leqslant r < s\leqslant m$ ，使得

$A_{p}+B_{s}=A_{q}+B_{r}$ ．【答案详解】

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