2023年北京

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2023年高考数学北京1（4分）已知集合$M=\{x\vert x+2\geqslant 0\}$，$N=\{x\vert x-1 < 0\}$．则$M\bigcap N=($　　$)$
A．$\{x\vert -2\leqslant x < 1\}$ B．$\{x\vert -2 < x\leqslant 1\}$ C．$\{x\vert x\geqslant -2\}$ D．$\{x\vert x < 1\}$【答案详解】

2023年高考数学北京2（4分）在复平面内，复数$z$对应的点的坐标是$(-1,\sqrt{3})$，则$z$的共轭复数$\overline{z}=($　　$)$
A．$1+\sqrt{3}i$ B．$1-\sqrt{3}i$ C．$-1+\sqrt{3}i$ D．$-1-\sqrt{3}i$【答案详解】

2023年高考数学北京3（4分）已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2,3)$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(-2,1)$，则$\vert \overrightarrow{a}\vert ^{2}-\vert \overrightarrow{b}\vert ^{2}=($　　$)$
A．$-2$ B．$-1$ C．0 D．1【答案详解】

2023年高考数学北京4（4分）下列函数中在区间$(0,+\infty )$上单调递增的是$($　　$)$
A．$f(x)=-\ln x$ B．$f(x)=\dfrac{1}{{2}^{x}}$ C．$f(x)=-\dfrac{1}{x}$ D．$f(x)=3^{\vert x-1\vert }$【答案详解】

2023年高考数学北京5（4分）$(2x-\dfrac{1}{x})^{5}$的展开式中，$x$的系数是$($　　$)$
A．$-40$ B．40 C．$-80$ D．80【答案详解】

2023年高考数学北京6（4分）已知抛物线$C:y^{2}=8x$的焦点为$F$，点$M$在$C$上，若$M$到直线$x=-3$的距离为5，则$\vert MF\vert =($　　$)$
A．7 B．6 C．5 D．4【答案详解】

2023年高考数学北京7（4分）在$\Delta ABC$中，$(a+c)(\sin A-\sin C)=b(\sin A-\sin B)$，则$\angle C=($　　$)$
A．$\dfrac{\pi }{6}$ B．$\dfrac{\pi }{3}$ C．$\dfrac{2\pi }{3}$ D．$\dfrac{5\pi }{6}$【答案详解】

2023年高考数学北京8（4分）若$xy\ne 0$，则“$x+y=0$”是“$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=-2$”的$($　　$)$
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案详解】

2023年高考数学北京9（4分）刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体$ABCDEF$，四边形$ABFE$和$CDEF$是全等的等腰梯形，$\Delta ADE$和$\Delta BCF$是全等的等腰三角形．若$AB=25m$，$BC=AD=10m$，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为$\dfrac{\sqrt{14}}{5}$．为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为$($　　$)$

A．$102m$ B．$112m$ C．$117m$ D．$125m$【答案详解】

2023年高考数学北京10（4分）数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n+1}=\dfrac{1}{4}(a_{n}-6)^{3}+6$，下列说法正确的是$($　　$)$
A．若$a_{1}=3$，则$\{a_{n}\}$是递减数列，$\exists M\in R$，使得$n > m$时，$a_{n} > M$
B．若$a_{1}=5$，则$\{a_{n}\}$是递增数列，$\exists M\leqslant 6$，使得$n > m$时，$a_{n} < M$
C．若$a_{1}=7$，则$\{a_{n}\}$是递减数列，$\exists M > 6$，使得$n > m$时，$a_{n} > M$
D．若$a_{1}=9$，则$\{a_{n}\}$是递增数列，$\exists M\in R$，使得$n > m$时，$a_{n} < M$【答案详解】

2023年高考数学北京11（5分）已知函数$f(x)=4^{x}+\log _{2}x$，则$f(\dfrac{1}{2})=$____．
【答案详解】

2023年高考数学北京12（5分）已知双曲线$C$的焦点为$(-2,0)$和$(2,0)$，离心率为$\sqrt{2}$，则$C$的方程为　____．
【答案详解】

2023年高考数学北京13（5分）已知命题$p$：若$\alpha$，$\beta$为第一象限角，且$\alpha > \beta$，则$\tan \alpha > \tan \beta$．能说明命题$p$为假命题的一组$\alpha$，$\beta$的值可以是$\alpha =$____，$\beta =$____．
【答案详解】

2023年高考数学北京14（5分）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列$\{a_{n}\}$，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且$a_{1}=1$，$a_{5}=12$，$a_{9}=192$，则$a_{7}=$____，数列$\{a_{n}\}$的所有项的和为____．
【答案详解】

2023年高考数学北京15（5分）设$a > 0$，函数$f(x)=\left\{{\left.\begin{array}{l}{x+2,x < -a,}\\ {\sqrt{{a^2}-{x^2}},-a\leqslant x\leqslant a,}\\ {-\sqrt{x}-1,x > a\cdot }\end{array}\right.}\right.$给出下列四个结论，正确的序号为____．
①$f(x)$在区间$(a-1,+\infty )$上单调递减；
②当$a\geqslant 1$时，$f(x)$存在最大值；
③设$M(x_{1}$，$f(x_{1}))(x_{1}\leqslant a)$，$N(x_{2}$，$f(x_{2}))(x_{2} > a)$，则$\vert MN\vert > 1$；
④设$P(x_{3}$，$f(x_{3}))(x_{3} < -a)$，$Q(x_{4}$，$f(x_{4}))(x_{4}\geqslant -a)$，若$\vert PQ\vert$存在最小值，则$a$的取值范围时$(0$，$\dfrac{1}{2}]$．【答案详解】

2023年高考数学北京16（13分）如图，四面体$P-ABC$中，$PA=AB=BC=1$，$PC=\sqrt{3}$，$PA\bot$平面$ABC$．
（Ⅰ）求证：$BC\bot$平面$PAB$；
（Ⅱ）求二面角$A-PC-B$的大小．

【答案详解】

2023年高考数学北京17（14分）已知函数$f(x)=\sin \omega x\cos \varphi +\cos \omega x\sin \varphi$，$\omega > 0$，$\vert \varphi \vert < \dfrac{\pi }{2}$．
（Ⅰ）若$f(0)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，求$\varphi$的值；
（Ⅱ）若$f(x)$在$[-\dfrac{\pi }{3}$，$\dfrac{2\pi }{3}]$上单调递增，且$f({\dfrac{2\pi }{3}})=1$，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求$\omega$、$\varphi$的值．
条件①：$f({\dfrac{\pi }{3}})=1$；
条件②：$f({-\dfrac{\pi }{3}})=-1$；
条件③：$f(x)$在$[-\dfrac{4\pi }{3}$，$-\dfrac{\pi }{3}]$上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案详解】

2023年高考数学北京18（13分）为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用“$+$”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“$-$”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．

时段	价格变化
第1天到第20天	$-$	$+$	$+$	0	$-$	$-$	$-$	$+$	$+$	0	$+$	0	$-$	$-$	$+$	$-$	$+$	0	0	$+$
第21天到第40天	0	$+$	$+$	0	$-$	$-$	$-$	$+$	$+$	0	$+$	0	$+$	$-$	$-$	$-$	$+$	0	$-$	$+$

用频率估计概率．
（Ⅰ）试估计该农产品“上涨”的概率；
（Ⅱ）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（Ⅲ）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）【答案详解】

2023年高考数学北京19（15分）已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$的离心率为$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$，$A$、$C$分别为$E$的上、下顶点，$B$、$D$分别为$E$的左、右顶点，$\vert AC\vert =4$．
（1）求$E$的方程；
（2）点$P$为第一象限内$E$上的一个动点，直线$PD$与直线$BC$交于点$M$，直线$PA$与直线$y=-2$交于点$N$．求证：$MN//CD$．【答案详解】

2023年高考数学北京20（15分）设函数$f(x)=x-x^{3}e^{ax+b}$，曲线$y=f(x)$在点$(1$，$f$（1）$)$处的切线方程为$y=-x+1$．
（Ⅰ）求$a$，$b$的值；
（Ⅱ）设$g(x)=f\prime (x)$，求$g(x)$的单调区间；
（Ⅲ）求$f(x)$的极值点的个数．【答案详解】

2023年高考数学北京21（15分）数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$的项数均为$m(m > 2)$，且$a_{n}$，$b_{n}\in \{1$，2，$\dotsb$，$m\}$，$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$的前$n$项和分别为$A_{n}$，$B_{n}$，并规定$A_{0}=B_{0}=0$．对于$k\in \{0$，1，2，$\dotsb$，$m\}$，定义$r_{k}=max\{i\vert B_{i}\leqslant A_{k}$，$i\in \{0$，1，2，$\dotsb$，$m\}\}$，其中，$maxM$表示数集$M$中最大的数．
（Ⅰ）若$a_{1}=2$，$a_{2}=1$，$a_{3}=3$，$b_{1}=1$，$b_{2}=3$，$b_{3}=3$，求$r_{0}$，$r_{1}$，$r_{2}$，$r_{3}$的值；
（Ⅱ）若$a_{1}\geqslant b_{1}$，且$2r_{j}\leqslant r_{j+1}+r_{j-1}$，$j=1$，2，$\dotsb$，$m-1$，求$r_{n}$；
（Ⅲ）证明：存在$0\leqslant p < q\leqslant m$，$0\leqslant r < s\leqslant m$，使得$A_{p}+B_{s}=A_{q}+B_{r}$．【答案详解】

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