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2023年高考数学北京14<-->2023年高考数学北京16
（5分）设a>0，函数f(x)={x+2,x<−a,√a2−x2,−a⩽x⩽a,−√x−1,x>a⋅给出下列四个结论，正确的序号为____．
①f(x)在区间(a−1,+∞)上单调递减；
②当a⩾1时，f(x)存在最大值；
③设M(x1，f(x1))(x1⩽a)，N(x2，f(x2))(x2>a)，则|MN|>1；
④设P(x3，f(x3))(x3<−a)，Q(x4，f(x4))(x4⩾−a)，若|PQ|存在最小值，则a的取值范围时(0，12]．
答案：②③
分析：先大致画出f(x)的草图，再根据四个选项逐一判断，对于选项①，取特殊值a=2判断函数函调性即可；对于选项②，分别判断a⩾1时每段函数的最值情况，再判断是否存在最大值；对于选项③，结合图象分析|MN|最小值的情况，即可得出|MN|的范围；对于选项④，针对图像分析|PQ|存在最小值的情况，可得直线y=−x需要与前两段函数图像都有交点才可满足，进而可求出a的取值范围．
解：a>0，当x<−a时，f(x)=x+2，图像为一次函数；
当−a⩽x⩽a时，f(x)=√a2−x2，图像为以(0,0)为圆心，a为半径的圆的上半弧；
当x>a时，f(x)=−√x−1，图像为单调递减的曲线；
其函数图象大致如下：
选项①，取a=2，f(x)在区间(−1,+∞)上先单调递增，后单调递减，选项①错误；
选项②，当a⩾1时，
x<−a，f(x)=x+2<2−a<2−1=1；
−a⩽x⩽a，f(x)=√a2−x2，最大值为a⩾1；
x>a，f(x)=−√x−1<−√a−1<−2；
所以f(x)存在最大值a，选项②正确；
选项③，由图可知，当点M位于点B，点N无限接近于点D时，MN的长度最短，
当N无限接近于点D时，xD无限接近于x=a，
所以|MN|>yM−yN=1+√a>1，选项③正确；
选项④，如上图，若|PQ|存在最小值，则P、Q应该是直线y=−x分别于f(x)=x+2，f(x)=√a2−x2的交点，
直线y=−x与f(x)=√a2−x2一定存在交点，而直线y=−x与f(x)=x+2不一定存在交点，
当直线y=−x与f(x)=x+2没有交点时，−a⩽−1，即a⩾1，此时由于P点取不到，|PQ|不存在最小值，
所以0<a<1，选项④错误．
故答案为：②③．
点评：本题考查分段函数的应用问题，考查学生用数形结合方法分析试题的能力，属于难题．
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