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2023年高考数学北京14<-->2023年高考数学北京16
（5分）设$a > 0$，函数$f(x)=\left\{{\left.\begin{array}{l}{x+2,x < -a,}\\ {\sqrt{{a^2}-{x^2}},-a\leqslant x\leqslant a,}\\ {-\sqrt{x}-1,x > a\cdot }\end{array}\right.}\right.$给出下列四个结论，正确的序号为____．
①$f(x)$在区间$(a-1,+\infty )$上单调递减；
②当$a\geqslant 1$时，$f(x)$存在最大值；
③设$M(x_{1}$，$f(x_{1}))(x_{1}\leqslant a)$，$N(x_{2}$，$f(x_{2}))(x_{2} > a)$，则$\vert MN\vert > 1$；
④设$P(x_{3}$，$f(x_{3}))(x_{3} < -a)$，$Q(x_{4}$，$f(x_{4}))(x_{4}\geqslant -a)$，若$\vert PQ\vert$存在最小值，则$a$的取值范围时$(0$，$\dfrac{1}{2}]$．
答案：②③
分析：先大致画出$f(x)$的草图，再根据四个选项逐一判断，对于选项①，取特殊值$a=2$判断函数函调性即可；对于选项②，分别判断$a\geqslant 1$时每段函数的最值情况，再判断是否存在最大值；对于选项③，结合图象分析$\vert MN\vert$最小值的情况，即可得出$\vert MN\vert$的范围；对于选项④，针对图像分析$\vert PQ\vert$存在最小值的情况，可得直线$y=-x$需要与前两段函数图像都有交点才可满足，进而可求出$a$的取值范围．
解：$a > 0$，当$x < -a$时，$f(x)=x+2$，图像为一次函数；
当$-a\leqslant x\leqslant a$时，$f(x)=\sqrt{{a}^{2}{-x}^{2}}$，图像为以$(0,0)$为圆心，$a$为半径的圆的上半弧；
当$x > a$时，$f(x)=-\sqrt{x}-1$，图像为单调递减的曲线；
其函数图象大致如下：
选项①，取$a=2$，$f(x)$在区间$(-1,+\infty )$上先单调递增，后单调递减，选项①错误；
选项②，当$a\geqslant 1$时，
$x < -a$，$f(x)=x+2 < 2-a < 2-1=1$；
$-a\leqslant x\leqslant a$，$f(x)=\sqrt{{a}^{2}{-x}^{2}}$，最大值为$a\geqslant 1$；
$x > a$，$f(x)=-\sqrt{x}-1 < -\sqrt{a}-1 < -2$；
所以$f(x)$存在最大值$a$，选项②正确；
选项③，由图可知，当点$M$位于点$B$，点$N$无限接近于点$D$时，$MN$的长度最短，
当$N$无限接近于点$D$时，$x_{D}$无限接近于$x=a$，
所以$\vert MN\vert > y_{M}-y_{N}=1+\sqrt{a} > 1$，选项③正确；
选项④，如上图，若$\vert PQ\vert$存在最小值，则$P$、$Q$应该是直线$y=-x$分别于$f(x)=x+2$，$f(x)=\sqrt{{a}^{2}{-x}^{2}}$的交点，
直线$y=-x$与$f(x)=\sqrt{{a}^{2}{-x}^{2}}$一定存在交点，而直线$y=-x$与$f(x)=x+2$不一定存在交点，
当直线$y=-x$与$f(x)=x+2$没有交点时，$-a\leqslant -1$，即$a\geqslant 1$，此时由于$P$点取不到，$\vert PQ\vert$不存在最小值，
所以$0 < a < 1$，选项④错误．
故答案为：②③．
点评：本题考查分段函数的应用问题，考查学生用数形结合方法分析试题的能力，属于难题．
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