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2023年高考数学北京15<-->2023年高考数学北京17
（13分）如图，四面体$P-ABC$中，$PA=AB=BC=1$，$PC=\sqrt{3}$，$PA\bot$平面$ABC$．
（Ⅰ）求证：$BC\bot$平面$PAB$；
（Ⅱ）求二面角$A-PC-B$的大小．
答案：（Ⅰ）证明过程见解析；
（Ⅱ）$\dfrac{\pi }{3}$．
分析：（Ⅰ）由$PA\bot$平面$ABC$可得$PA\bot AC$，$PA\bot BC$，由勾股定理可得$BC\bot AB$，再利用线面垂直的判定定理即可证得$BC\bot$平面$PAB$；
（Ⅱ）以点$B$为坐标原点，分别以$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$所在直线为$x$轴，$y$轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出相应向量的坐标，进而求出平面$APC$和平面$BPC$的法向量，再利用二面角的向量公式计算即可．
证明：（Ⅰ）$\because PA\bot$平面$ABC$，$AC\subset$平面$ABC$，$BC\subset$平面$ABC$，
$\therefore PA\bot AC$，$PA\bot BC$，
$\because PA=1$，$PC=\sqrt{3}$，
$\therefore AC=\sqrt{P{C}^{2}-P{A}^{2}}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$，
又$\because AB=BC=1$，$\therefore AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$，
$\therefore BC\bot AB$，又$\because PA\bigcap AB=A$，
$\therefore BC\bot$平面$PAB$；
解：（Ⅱ）以点$B$为坐标原点，分别以$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$所在直线为$x$轴，$y$轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则$A(0$，1，$0)$，$B(0$，0，$0)$，$C(1$，0，$0)$，$P(0$，1，$1)$，
$\therefore$$\overrightarrow{AP}=(0$，0，$1)$，$\overrightarrow{AC}=(1$，$-1$，$0)$，$\overrightarrow{BP}=(0$，1，$1)$，$\overrightarrow{BC}=(1$，0，$0)$，
设平面$APC$的一个法向量为$\overrightarrow{n}=(x$，$y$，$z)$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{n}=z=0}\\ {\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{n}=x-y=0}\end{array}\right.$，取$x=1$，得$\overrightarrow{n}=(1$，1，$0)$，
设平面$BPC$的一个法向量为$\overrightarrow{m}=(a$，$b$，$c)$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{m}=b+c=0}\\ {\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{m}=a=0}\end{array}\right.$，取$b=1$，得$\overrightarrow{m}=(0$，1，$-1)$，
$\therefore \cos < \overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n} > =\dfrac{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}}{\vert \overrightarrow{m}\vert \vert \overrightarrow{n}\vert }=\dfrac{1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}$，
由图可知二面角$A-PC-B$为锐角，设二面角$A-PC-B$的大小为$\theta$，
则$\cos \theta =\vert \cos < \overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n} > \vert =\dfrac{1}{2}$，
$\therefore$$\theta =\dfrac{\pi }{3}$，
即二面角$A-PC-B$的大小为$\dfrac{\pi }{3}$．
点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求二面角的大小，属于中档题．
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