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2023年高考数学北京15<-->2023年高考数学北京17
（13分）如图，四面体P−ABC中，PA=AB=BC=1，PC=√3，PA⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角A−PC−B的大小．
答案：（Ⅰ）证明过程见解析；
（Ⅱ）π3．
分析：（Ⅰ）由PA⊥平面ABC可得PA⊥AC，PA⊥BC，由勾股定理可得BC⊥AB，再利用线面垂直的判定定理即可证得BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）以点B为坐标原点，分别以→BA，→BC所在直线为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出相应向量的坐标，进而求出平面APC和平面BPC的法向量，再利用二面角的向量公式计算即可．
证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥AC，PA⊥BC，
∵PA=1，PC=√3，
∴AC=√PC2−PA2=√3−1=√2，
又∵AB=BC=1，∴AC2=AB2+BC2，
∴BC⊥AB，又∵PA⋂AB=A，
∴BC⊥平面PAB；
解：（Ⅱ）以点B为坐标原点，分别以→BA，→BC所在直线为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则A(0，1，0)，B(0，0，0)，C(1，0，0)，P(0，1，1)，
∴→AP=(0，0，1)，→AC=(1，−1，0)，→BP=(0，1，1)，→BC=(1，0，0)，
设平面APC的一个法向量为→n=(x，y，z)，
则{→AP⋅→n=z=0→AC⋅→n=x−y=0，取x=1，得→n=(1，1，0)，
设平面BPC的一个法向量为→m=(a，b，c)，
则{→BP⋅→m=b+c=0→BC⋅→m=a=0，取b=1，得→m=(0，1，−1)，
∴cos<→m，→n>=→m⋅→n|→m||→n|=1√2×√2=12，
由图可知二面角A−PC−B为锐角，设二面角A−PC−B的大小为θ，
则cosθ=|cos<→m，→n>|=12，
∴θ=π3，
即二面角A−PC−B的大小为π3．
点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求二面角的大小，属于中档题．
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