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2023年高考数学北京16<-->2023年高考数学北京18
（14分）已知函数$f(x)=\sin \omega x\cos \varphi +\cos \omega x\sin \varphi$，$\omega > 0$，$\vert \varphi \vert < \dfrac{\pi }{2}$．
（Ⅰ）若$f(0)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，求$\varphi$的值；
（Ⅱ）若$f(x)$在$[-\dfrac{\pi }{3}$，$\dfrac{2\pi }{3}]$上单调递增，且$f({\dfrac{2\pi }{3}})=1$，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求$\omega$、$\varphi$的值．
条件①：$f({\dfrac{\pi }{3}})=1$；
条件②：$f({-\dfrac{\pi }{3}})=-1$；
条件③：$f(x)$在$[-\dfrac{4\pi }{3}$，$-\dfrac{\pi }{3}]$上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案：（Ⅰ）$-\dfrac{\pi }{3}$．
（Ⅱ）若选①：$\omega$、$\varphi$的值不存在．
若选②：$\omega =1$，$\varphi =-\dfrac{\pi }{6}$；
若选③：$\omega =1$，$\varphi =-\dfrac{\pi }{6}$．
分析：（Ⅰ）化简函数$f(x)=\sin (\omega x+\varphi )$，由$f(0)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$求出$\varphi$的值．
（Ⅱ）若选①：由$f(x)$在$x=\dfrac{\pi }{3}$和$x=\dfrac{2\pi }{3}$时取得最大值1，这与已知矛盾，判断$\omega$、$\varphi$不存在．
若选②：由题意求出$f(x)$的最小正周期，即可求出$\omega$的值，再根据$f(\dfrac{2\pi }{3})=1$求出$\varphi$的值；
若选③：由题意知$f(x)$在$x=-\dfrac{\pi }{3}$时取得最小值，$x=\dfrac{2\pi }{3}$时取得最大值，由此求出$f(x)$的最小正周期，再求$\omega$和$\varphi$的值．
解：（Ⅰ）因为函数$f(x)=\sin \omega x\cos \varphi +\cos \omega x\sin \varphi =\sin (\omega x+\varphi )$，
所以$f(0)=\sin \varphi =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
又因为$\vert \varphi \vert < \dfrac{\pi }{2}$，所以$\varphi =-\dfrac{\pi }{3}$．
（Ⅱ）若选①：$f({\dfrac{\pi }{3}})=1$；
因为$f({\dfrac{2\pi }{3}})=1$，
所以$f(x)$在$x=\dfrac{\pi }{3}$和$x=\dfrac{2\pi }{3}$时取得最大值1，这与$f(x)$在$[-\dfrac{\pi }{3}$，$\dfrac{2\pi }{3}]$上单调递增矛盾，所以$\omega$、$\varphi$的值不存在．
若选②：$f(-{\dfrac{\pi }{3}})=-1$；
因为$f(x)$在$[-\dfrac{\pi }{3}$，$\dfrac{2\pi }{3}]$上单调递增，且$f({\dfrac{2\pi }{3}})=1$，
所以$f(x)$在$x=-\dfrac{\pi }{3}$时取得最小值$-1$，$x=\dfrac{2\pi }{3}$时取得最大值1，
所以$f(x)$的最小正周期为$T=2\times (\dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\pi }{3})=2\pi$，计算$\omega =\dfrac{2\pi }{T}=1$，
又因为$f(\dfrac{2\pi }{3})=\sin (\dfrac{2\pi }{3}+\varphi )=1$，所以$\dfrac{2\pi }{3}+\varphi =2k\pi +\dfrac{\pi }{2}$，$k\in Z$，
解得$\varphi =2k\pi -\dfrac{\pi }{6}$，$k\in Z$；
又因为$\vert \varphi \vert < \dfrac{\pi }{2}$，所以$\varphi =-\dfrac{\pi }{6}$；
若选③：$f(x)$在$[-\dfrac{4\pi }{3}$，$-\dfrac{\pi }{3}]$上单调递减，因为$f(x)$在$[-\dfrac{\pi }{3}$，$\dfrac{2\pi }{3}]$上单调递增，且$f({\dfrac{2\pi }{3}})=1$，
所以$f(x)$在$x=-\dfrac{\pi }{3}$时取得最小值$-1$，$x=\dfrac{2\pi }{3}$时取得最大值1，
所以$f(x)$的最小正周期为$T=2\times (\dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\pi }{3})=2\pi$，所以$\omega =\dfrac{2\pi }{T}=1$，
又因为$f(\dfrac{2\pi }{3})=\sin (\dfrac{2\pi }{3}+\varphi )=1$，所以$\dfrac{2\pi }{3}+\varphi =2k\pi +\dfrac{\pi }{2}$，$k\in Z$，
解得$\varphi =2k\pi -\dfrac{\pi }{6}$，$k\in Z$；
又因为$\vert \varphi \vert < \dfrac{\pi }{2}$，所以$\varphi =-\dfrac{\pi }{6}$．
点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
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