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2023年高考数学北京16<-->2023年高考数学北京18
（14分）已知函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ，ω>0，|φ|<π2．
（Ⅰ）若f(0)=−√32，求φ的值；
（Ⅱ）若f(x)在[−π3，2π3]上单调递增，且f(2π3)=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求ω、φ的值．
条件①：f(π3)=1；
条件②：f(−π3)=−1；
条件③：f(x)在[−4π3，−π3]上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案：（Ⅰ）−π3．
（Ⅱ）若选①：ω、φ的值不存在．
若选②：ω=1，φ=−π6；
若选③：ω=1，φ=−π6．
分析：（Ⅰ）化简函数f(x)=sin(ωx+φ)，由f(0)=−√32求出φ的值．
（Ⅱ）若选①：由f(x)在x=π3和x=2π3时取得最大值1，这与已知矛盾，判断ω、φ不存在．
若选②：由题意求出f(x)的最小正周期，即可求出ω的值，再根据f(2π3)=1求出φ的值；
若选③：由题意知f(x)在x=−π3时取得最小值，x=2π3时取得最大值，由此求出f(x)的最小正周期，再求ω和φ的值．
解：（Ⅰ）因为函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin(ωx+φ)，
所以f(0)=sinφ=−√32，
又因为|φ|<π2，所以φ=−π3．
（Ⅱ）若选①：f(π3)=1；
因为f(2π3)=1，
所以f(x)在x=π3和x=2π3时取得最大值1，这与f(x)在[−π3，2π3]上单调递增矛盾，所以ω、φ的值不存在．
若选②：f(−π3)=−1；
因为f(x)在[−π3，2π3]上单调递增，且f(2π3)=1，
所以f(x)在x=−π3时取得最小值−1，x=2π3时取得最大值1，
所以f(x)的最小正周期为T=2×(2π3+π3)=2π，计算ω=2πT=1，
又因为f(2π3)=sin(2π3+φ)=1，所以2π3+φ=2kπ+π2，k∈Z，
解得φ=2kπ−π6，k∈Z；
又因为|φ|<π2，所以φ=−π6；
若选③：f(x)在[−4π3，−π3]上单调递减，因为f(x)在[−π3，2π3]上单调递增，且f(2π3)=1，
所以f(x)在x=−π3时取得最小值−1，x=2π3时取得最大值1，
所以f(x)的最小正周期为T=2×(2π3+π3)=2π，所以ω=2πT=1，
又因为f(2π3)=sin(2π3+φ)=1，所以2π3+φ=2kπ+π2，k∈Z，
解得φ=2kπ−π6，k∈Z；
又因为|φ|<π2，所以φ=−π6．
点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
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