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2023年高考数学北京13<-->2023年高考数学北京15
（5分）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列$\{a_{n}\}$，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且$a_{1}=1$，$a_{5}=12$，$a_{9}=192$，则$a_{7}=$____，数列$\{a_{n}\}$的所有项的和为 ____．
答案：48；384．
分析：根据数列$\{a_{n}\}$的后7项成等比数列，$a_{n} > 0$，可得$a_{7}=\sqrt{{a}_{5}{a}_{9}}$，$a_{3}=\dfrac{{a}_{5}^{2}}{{a}_{7}}$，可得公比$q=\sqrt{\dfrac{{a}_{5}}{{a}_{3}}}$，进而得出$a_{4}$，利用求和公式即可得出结论．
解：$\because$数列$\{a_{n}\}$的后7项成等比数列，$a_{n} > 0$，
$\therefore a_{7}=\sqrt{{a}_{5}{a}_{9}}=\sqrt{12\times 192}=48$，
$\therefore a_{3}=\dfrac{{a}_{5}^{2}}{{a}_{7}}=\dfrac{1{2}^{2}}{48}=3$，
$\therefore$公比$q=\sqrt{\dfrac{{a}_{5}}{{a}_{3}}}=\sqrt{\dfrac{12}{3}}=2$．
$\therefore a_{4}=3\times 2=6$，
又该数列的前3项成等差数列，
$\therefore$数列$\{a_{n}\}$的所有项的和为$\dfrac{3({a}_{1}+{a}_{3})}{2}+\dfrac{6\times ({2}^{6}-1)}{2-1}=\dfrac{3\times (1+3)}{2}+378=384$．
故答案为：48；384．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及性质、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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