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2023年高考数学北京14

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（5分）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列

$\{a_{n}\}$ ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且

$a_{1}=1$ ，

$a_{5}=12$ ，

$a_{9}=192$ ，则

$a_{7}=$ ____，数列

$\{a_{n}\}$ 的所有项的和为 ____．
答案：48；384．
分析：根据数列

$\{a_{n}\}$ 的后7项成等比数列，

$a_{n} > 0$ ，可得

$a_{7}=\sqrt{{a}_{5}{a}_{9}}$ ，

$a_{3}=\dfrac{{a}_{5}^{2}}{{a}_{7}}$ ，可得公比

$q=\sqrt{\dfrac{{a}_{5}}{{a}_{3}}}$ ，进而得出

$a_{4}$ ，利用求和公式即可得出结论．
解：

$\because$ 数列

$\{a_{n}\}$ 的后7项成等比数列，

$a_{n} > 0$ ，

$\therefore a_{7}=\sqrt{{a}_{5}{a}_{9}}=\sqrt{12\times 192}=48$ ，

$\therefore a_{3}=\dfrac{{a}_{5}^{2}}{{a}_{7}}=\dfrac{1{2}^{2}}{48}=3$ ，

$\therefore$ 公比

$q=\sqrt{\dfrac{{a}_{5}}{{a}_{3}}}=\sqrt{\dfrac{12}{3}}=2$ ．

$\therefore a_{4}=3\times 2=6$ ，
又该数列的前3项成等差数列，

$\therefore$ 数列

$\{a_{n}\}$ 的所有项的和为

$\dfrac{3({a}_{1}+{a}_{3})}{2}+\dfrac{6\times ({2}^{6}-1)}{2-1}=\dfrac{3\times (1+3)}{2}+378=384$ ．
故答案为：48；384．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及性质、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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