首页 > 数学 > 高考题 > 2023 > 2023年北京

2023年高考数学北京19

2023年高考数学北京18<-->2023年高考数学北京20

（15分）已知椭圆

$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的离心率为

$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ ，

$A$ 、

$C$ 分别为

$E$ 的上、下顶点，

$B$ 、

$D$ 分别为

$E$ 的左、右顶点，

$\vert AC\vert =4$ ．
（1）求

$E$ 的方程；
（2）点

$P$ 为第一象限内

$E$ 上的一个动点，直线

$PD$ 与直线

$BC$ 交于点

$M$ ，直线

$PA$ 与直线

$y=-2$ 交于点

$N$ ．求证：

$MN//CD$ ．
答案：（1）

$\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$ ．
（2）见证明过程．
分析：（1）由题意可得：

$2b=4$ ，

$e=\dfrac{\sqrt{5}}{3}=\dfrac{\;c}{a}$ ，

$a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ，解得

$b$ ，

$a^{2}$ ，即可得出椭圆

$E$ 的方程．
（2）利用截距式可得直线

$BC$ 的方程，设直线

$AP$ 的方程为：

$y=kx+2$ ，

$(k < 0)$ ，可得

$N$ 坐标，联立

$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$ ，解得

$P$ 坐标，利用直线

$PD$ 方程与

$BC$ 方程可得

$M$ 坐标

$M$ ，利用斜率计算公式可得

$k_{MN}$ ，

$k_{CD}$ ，进而证明结论．
解：（1）由题意可得：

$2b=4$ ，

$e=\dfrac{\sqrt{5}}{3}=\dfrac{\;c}{a}$ ，

$a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ，
解得

$b=2$ ，

$a^{2}=9$ ，

$\therefore$ 椭圆

$E$ 的方程为

$\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$ ．
（2）证明：

$A(0,2)$ ，

$B(-3,0)$ ，

$C(0,-2)$ ，

$D(3,0)$ ，
直线

$BC$ 的方程为

$\dfrac{x}{-3}+\dfrac{y}{-2}=1$ ，化为

$2x+3y+6=0$ ．
设直线

$AP$ 的方程为：

$y=kx+2$ ，

$(k < 0)$ ，

$\therefore N(\dfrac{-4}{\;k}$ ，

$-2)$ ．
联立

$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$ ，化为：

$(4+9k^{2})x^{2}+36kx=0$ ，
解得

$x=0$ 或

$-\dfrac{36k}{4+9{k}^{2}}$ ，

$\therefore P(-\dfrac{36k}{4+9{k}^{2}}$ ，

$\dfrac{8-18{k}^{2}}{4+9{k}^{2}})$ ．
直线

$PD$ 方程为：

$y=\dfrac{\dfrac{18{k}^{2}-8}{4+9{k}^{2}}}{3+\dfrac{36k}{4+9{k}^{2}}}(x-3)$ ，即

$y=\dfrac{18{k}^{2}-8}{27{k}^{2}+36k+12}(x-3)$ ，
与

$2x+3y+6=0$ 联立，解得

$x=\dfrac{-6k-4}{3{k}^{2}+2k}$ ，

$y=\dfrac{8-18{k}^{2}}{9{k}^{2}+6k}$ ．

$\therefore M(\dfrac{-6k-4}{3{k}^{2}+2k}$ ，

$\dfrac{8-18{k}^{2}}{9{k}^{2}+6k})$ ．

$\therefore k_{MN}=\dfrac{\dfrac{8-18{k}^{2}}{9{k}^{2}+6k}+2}{\dfrac{4}{k}-\dfrac{6k+4}{3{k}^{2}+2k}}=\dfrac{2}{3}$ ，

$k_{CD}=\dfrac{2}{3}$ ，

$\therefore MN//CD$ ．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及性质、直线交点问题、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

2023年高考数学北京18<-->2023年高考数学北京20

全网搜索"2023年高考数学北京19"相关

相关知识

无相关信息

学习笔记（共有 0 条）