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2023年高考数学北京20

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（15分）设函数

$f(x)=x-x^{3}e^{ax+b}$ ，曲线

$y=f(x)$ 在点

$(1$ ，

$f$ （1）

$)$ 处的切线方程为

$y=-x+1$ ．
（Ⅰ）求

$a$ ，

$b$ 的值；
（Ⅱ）设

$g(x)=f\prime (x)$ ，求

$g(x)$ 的单调区间；
（Ⅲ）求

$f(x)$ 的极值点的个数．
答案：（Ⅰ）

$a=-1$ ，

$b=1$ ．
（Ⅱ）在

$(-\infty ,0)$ 和

$(3-\sqrt{3}$ ，

$3+\sqrt{3})$ 上单调递增，在

$(0,3-\sqrt{3})$ 和

$(3+\sqrt{3}$ ，

$+\infty )$ 上单调递减；
（Ⅲ）3个极值点．
分析：（Ⅰ）求函数

$f(x)$ 的导数，根据导数的几何意义列方程组求出

$a$ 、

$b$ 的值．
（Ⅱ）求

$f(x)$ 的导数，利用

$g(x)=f\prime (x)$ ，求

$g(x)$ 的导数，令

$g\prime (x)=0$ ，根据

$g\prime (x)$ 与

$g(x)$ 的关系求出

$g(x)$ 的单调区间；
（Ⅲ）根据题意，判断

$f\prime (x)$ 的单调递增，利用根的存在性定理，判断

$f\prime (x)$ 的零点个数，即可得出

$f(x)$ 极值点的个数．
解：（Ⅰ）因为函数

$f(x)=x-x^{3}e^{ax+b}$ ，
所以

$f\prime (x)=1-(3x^{2}e^{ax+b}+ax^{3}e^{ax+b})=1-(3+ax)x^{2}e^{ax+b}$ ，
因为

$f(x)$ 在点

$(1$ ，

$f$ （1）

$)$ 处的切线方程为

$y=-x+1$ ，
所以

$\left\{\begin{array}{l}{f(1)=0}\\ {f\prime (1)=-1}\end{array}\right.$ ，即

$\left\{\begin{array}{l}{{1-e}^{a+b}=0}\\ {1-(3+a{)e}^{a+b}=-1}\end{array}\right.$ ，
解得

$a=-1$ ，

$b=1$ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

$f(x)=x-x^{3}e^{-x+1}$ ，所以

$f\prime (x)=1-(3x^{2}-x^{3})e^{-x+1}$ ，
所以

$g(x)=f\prime (x)=1-(3x^{2}-x^{3})e^{-x+1}$ ，
所以

$g\prime (x)=-(6x-3x^{2})e^{-x+1}+(3x^{2}-x^{3})e^{-x+1}=-x(x^{2}-6x+6)e^{-x+1}$ ，
令

$g\prime (x)=0$ ，解得

$x=0$ 或

$x=3\pm \sqrt{3}$ ，
所以

$g\prime (x)$ 与

$g(x)$ 的关系列表如下：

$x$	$(-\infty ,0)$	0	$(0,3-\sqrt{3})$	$3-\sqrt{3}$	$(3-\sqrt{3}$ ， $3+\sqrt{3})$	$3+\sqrt{3}$	$(3+\sqrt{3}$ ， $+\infty )$
$g\prime (x)$	$+$	0	$-$	0	$+$	0	$-$
$g(x)$	单调递增		单调递减		单调递增		单调递减

所以

$g(x)$ 在区间

$(-\infty ,0)$ 和

$(3-\sqrt{3}$ ，

$3+\sqrt{3})$ 上单调递增，在区间

$(0,3-\sqrt{3})$ 和

$(3+\sqrt{3}$ ，

$+\infty )$ 上单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当

$x\in (-\infty ,0)$ 时，

$f\prime (x)$ 单调递增，
当

$x < -1$ 时，

$f\prime (x) < f\prime (-1)=1-4e^{2} < 0$ ，

$f\prime (0)=1 > 0$ ，
所以存在

$x_{1}\in (-\infty ,0)$ ，使得

$f\prime (x_{1})=0$ ，
又因为

$f(x)$ 在

$(-\infty ,x_{1})$ 上单调递减，在

$(x_{1}$ ，

$0)$ 上单调递增，
所以

$x_{1}$ 是

$f(x)$ 的一个极小值点；
当

$x\in (0,3-\sqrt{3})$ 时，

$f\prime (x)$ 单调递减，且

$f\prime (3-\sqrt{3}) < f\prime$ （1）

$=1-2 < 0$ ，
所以存在

$x_{2}\in (0,3-\sqrt{3})$ ，使得

$f\prime (x_{2})=0$ ，所以

$f(x)$ 在

$(0,x_{2})$ 上单调递增，在

$(x_{2}$ ，

$3-\sqrt{3})$ 上单调递减，
所以

$x_{2}$ 是

$f(x)$ 的一个极大值点；
当

$x\in (3-\sqrt{3}$ ，

$3)$ 时，

$f\prime (x)$ 单调递增，
又因为

$f\prime$ （3）

$=1 > 0$ ，所以存在

$x_{3}\in (3-\sqrt{3}$ ，

$3)$ ，使得

$f\prime (x_{3})=0$ ，
所以

$f(x)$ 在

$(3-\sqrt{3}$ ，

$x_{3})$ 上单调递减，

$(x_{3}$ ，

$3)$ 上单调递增，
所以

$x_{3}$ 是

$f(x)$ 的一个极小值点，
又因为当

$x > 3$ 时，

$f\prime (x) > 0$ ，所以

$f(x)$ 在

$(3,+\infty )$ 上单调递增，无极值点；
综上，

$f(x)$ 在定义域

$R$ 上有3个极值点．
点评：本题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了导数的综合应用问题，是难题．

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