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2023年高考数学北京19<-->2023年高考数学北京21
（15分）设函数$f(x)=x-x^{3}e^{ax+b}$，曲线$y=f(x)$在点$(1$，$f$（1）$)$处的切线方程为$y=-x+1$．
（Ⅰ）求$a$，$b$的值；
（Ⅱ）设$g(x)=f\prime (x)$，求$g(x)$的单调区间；
（Ⅲ）求$f(x)$的极值点的个数．
答案：（Ⅰ）$a=-1$，$b=1$．
（Ⅱ）在$(-\infty ,0)$和$(3-\sqrt{3}$，$3+\sqrt{3})$上单调递增，在$(0,3-\sqrt{3})$和$(3+\sqrt{3}$，$+\infty )$上单调递减；
（Ⅲ）3个极值点．
分析：（Ⅰ）求函数$f(x)$的导数，根据导数的几何意义列方程组求出$a$、$b$的值．
（Ⅱ）求$f(x)$的导数，利用$g(x)=f\prime (x)$，求$g(x)$的导数，令$g\prime (x)=0$，根据$g\prime (x)$与$g(x)$的关系求出$g(x)$的单调区间；
（Ⅲ）根据题意，判断$f\prime (x)$的单调递增，利用根的存在性定理，判断$f\prime (x)$的零点个数，即可得出$f(x)$极值点的个数．
解：（Ⅰ）因为函数$f(x)=x-x^{3}e^{ax+b}$，
所以$f\prime (x)=1-(3x^{2}e^{ax+b}+ax^{3}e^{ax+b})=1-(3+ax)x^{2}e^{ax+b}$，
因为$f(x)$在点$(1$，$f$（1）$)$处的切线方程为$y=-x+1$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f(1)=0}\\ {f\prime (1)=-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{1-e}^{a+b}=0}\\ {1-(3+a{)e}^{a+b}=-1}\end{array}\right.$，
解得$a=-1$，$b=1$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f(x)=x-x^{3}e^{-x+1}$，所以$f\prime (x)=1-(3x^{2}-x^{3})e^{-x+1}$，
所以$g(x)=f\prime (x)=1-(3x^{2}-x^{3})e^{-x+1}$，
所以$g\prime (x)=-(6x-3x^{2})e^{-x+1}+(3x^{2}-x^{3})e^{-x+1}=-x(x^{2}-6x+6)e^{-x+1}$，
令$g\prime (x)=0$，解得$x=0$或$x=3\pm \sqrt{3}$，
所以$g\prime (x)$与$g(x)$的关系列表如下：
| $x$ |
$(-\infty ,0)$ |
0 |
$(0,3-\sqrt{3})$ |
$3-\sqrt{3}$ |
$(3-\sqrt{3}$，$3+\sqrt{3})$ |
$3+\sqrt{3}$ |
$(3+\sqrt{3}$，$+\infty )$ |
| $g\prime (x)$ |
$+$ |
0 |
$-$ |
0 |
$+$ |
0 |
$-$ |
| $g(x)$ |
单调递增 |
|
单调递减 |
|
单调递增 |
|
单调递减 |
所以$g(x)$在区间$(-\infty ,0)$和$(3-\sqrt{3}$，$3+\sqrt{3})$上单调递增，在区间$(0,3-\sqrt{3})$和$(3+\sqrt{3}$，$+\infty )$上单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当$x\in (-\infty ,0)$时，$f\prime (x)$单调递增，
当$x < -1$时，$f\prime (x) < f\prime (-1)=1-4e^{2} < 0$，$f\prime (0)=1 > 0$，
所以存在$x_{1}\in (-\infty ,0)$，使得$f\prime (x_{1})=0$，
又因为$f(x)$在$(-\infty ,x_{1})$上单调递减，在$(x_{1}$，$0)$上单调递增，
所以$x_{1}$是$f(x)$的一个极小值点；
当$x\in (0,3-\sqrt{3})$时，$f\prime (x)$单调递减，且$f\prime (3-\sqrt{3}) < f\prime$（1）$=1-2 < 0$，
所以存在$x_{2}\in (0,3-\sqrt{3})$，使得$f\prime (x_{2})=0$，所以$f(x)$在$(0,x_{2})$上单调递增，在$(x_{2}$，$3-\sqrt{3})$上单调递减，
所以$x_{2}$是$f(x)$的一个极大值点；
当$x\in (3-\sqrt{3}$，$3)$时，$f\prime (x)$单调递增，
又因为$f\prime$（3）$=1 > 0$，所以存在$x_{3}\in (3-\sqrt{3}$，$3)$，使得$f\prime (x_{3})=0$，
所以$f(x)$在$(3-\sqrt{3}$，$x_{3})$上单调递减，$(x_{3}$，$3)$上单调递增，
所以$x_{3}$是$f(x)$的一个极小值点，
又因为当$x > 3$时，$f\prime (x) > 0$，所以$f(x)$在$(3,+\infty )$上单调递增，无极值点；
综上，$f(x)$在定义域$R$上有3个极值点．
点评：本题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了导数的综合应用问题，是难题．
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