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2023年高考数学北京21

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（15分）数列

$\{a_{n}\}$ ，

$\{b_{n}\}$ 的项数均为

$m(m > 2)$ ，且

$a_{n}$ ，

$b_{n}\in \{1$ ，2，

$\dotsb$ ，

$m\}$ ，

$\{a_{n}\}$ ，

$\{b_{n}\}$ 的前

$n$ 项和分别为

$A_{n}$ ，

$B_{n}$ ，并规定

$A_{0}=B_{0}=0$ ．对于

$k\in \{0$ ，1，2，

$\dotsb$ ，

$m\}$ ，定义

$r_{k}=max\{i\vert B_{i}\leqslant A_{k}$ ，

$i\in \{0$ ，1，2，

$\dotsb$ ，

$m\}\}$ ，其中，

$maxM$ 表示数集

$M$ 中最大的数．
（Ⅰ）若

$a_{1}=2$ ，

$a_{2}=1$ ，

$a_{3}=3$ ，

$b_{1}=1$ ，

$b_{2}=3$ ，

$b_{3}=3$ ，求

$r_{0}$ ，

$r_{1}$ ，

$r_{2}$ ，

$r_{3}$ 的值；
（Ⅱ）若

$a_{1}\geqslant b_{1}$ ，且

$2r_{j}\leqslant r_{j+1}+r_{j-1}$ ，

$j=1$ ，2，

$\dotsb$ ，

$m-1$ ，求

$r_{n}$ ；
（Ⅲ）证明：存在

$0\leqslant p < q\leqslant m$ ，

$0\leqslant r < s\leqslant m$ ，使得

$A_{p}+B_{s}=A_{q}+B_{r}$ ．
答案：（Ⅰ）

$r_{0}=0$ ，

$r_{1}=1$ ，

$r_{2}=1$ ，

$r_{3}=2$ ．
（Ⅱ）

$r_{n}=n$ ，

$n\in N$ ．
（Ⅲ）证明详情见解答．
分析：（Ⅰ）根据题意可得，列表分析

$a_{i}$ ，

$A_{i}$ ，

$b_{i}$ ，

$B_{i}$ ，

$r_{K}$ 的值，即可得出答案．
（Ⅱ）由题意知

$r_{n}\leqslant m$ 且

$r_{n}\in N$ ，

$a_{n}\geqslant 1$ ，

$b_{n}\geqslant 1$ ，则

$A_{n}\geqslant 1$ ，

$B_{n}\geqslant 1$ ，当且仅当

$n=1$ 时，等号成立，可推出

$r_{m}-r_{m-1}\geqslant r_{m-1}-r_{m-2}\geqslant ...\geqslant r_{1}-r_{0}=1$ ，即

$r_{i+1}-r_{i}\geqslant 1$ ，用反证法证明满足

$r_{n+1}-r_{n} > 1$ 的最小正整数为

$1\leqslant j\leqslant m-1$ 不成立，推出

$r_{n+1}-r_{n}=1$ 成立，由等差数列的性质，即可得出答案．
（Ⅲ）分两种情况：若

$A_{m}\geqslant B_{m}$ 时，若

$A_{m} < B_{m}$ 时，证明

$A_{P}+B_{s}=A_{q}+B_{r}$ ，即可得出答案．
解：（Ⅰ）列表如下，对比可知

$r_{0}=0$ ，

$r_{1}=1$ ，

$r_{2}=1$ ，

$r_{3}=2$ ．

$i$	0	1	2	3
$a_{i}$		2	1	3
$A_{i}$	0	2	3	6
$b_{i}$		1	3	3
$B_{i}$	0	1	4	7
$r_{k}$	0	1	1	2

（Ⅱ）由题意知

$r_{n}\leqslant m$ 且

$r_{n}\in N$ ，
因为

$a_{n}\geqslant 1$ ，

$b_{n}\geqslant 1$ ，

$a_{n}$ ，

$b_{n}\in \{1$ ，2，

$\dotsb$ ，

$m\}$ ，
所以

$A_{n}\geqslant 1$ ，

$B_{n}\geqslant 1$ ，当且仅当

$n=1$ 时，等号成立，
所以

$r_{0}=0$ ，

$r_{1}=1$ ，
又因为

$2r_{j+1}\leqslant r_{j-1}+r_{j+1}$ ，
则

$r_{j+1}-r_{j}\geqslant r_{j}-r_{j-1}$ ，即

$r_{m}-r_{m-1}\geqslant r_{m-1}-r_{m-2}\geqslant ...\geqslant r_{1}-r_{0}=1$ ，
可得

$r_{j+1}-r_{j}\geqslant 1$ ，
反证：假设满足

$r_{n+1}-r_{n} > 1$ 的最小正整数为

$1\leqslant i\leqslant m-1$ ，
当

$j\geqslant i$ 时，则

$r_{i+1}-r_{j}\geqslant 2$ ；
当

$i\leqslant j-1$ 时，则

$r_{j+1}-r_{j}=1$ ，
则

$r_{m}=(r_{m}-r_{m-1})+(r_{m-1}-r_{m-2})+...+(r_{1}-r_{0})+r_{0}\geqslant 2(m-i)+i=2m-i$ ，
又因为

$1\leqslant i\leqslant m-1$ ，则

$r_{m}\geqslant 2m-i\geqslant 2m-(m-1)=m+1 > m$ ，
所以假设不成立，

$r_{n+1}-r_{n}=1$ 成立，
所以数列

$\{r_{n}\}$ 是以首项为1，公差为1的等差数列，
所以

$r_{n}=0+1\times n=n$ ，

$n\in N$ ．
（Ⅲ）证明：若

$A_{m}\geqslant B_{m}$ ，设

$S_{n}=A_{n}-{B}_{{r}_{n}}$ ，

$1\leqslant n\leqslant m$ ，
根据题意可得

$S_{n}\geqslant 0$ 且

$S_{n}$ 为整数，
反证法：假设存在正整数

$K$ ，使得

$S_{K}\geqslant m$ ，
则

$A_{K}-{B}_{{r}_{K}}\geqslant m$ ，

$A_{K}-{B}_{{r}_{k}+1} < 0$ ，
所以

${b}_{{r}_{k}+1}={B}_{{r}_{k}+1}-{B}_{{r}_{K}}=(A_{K}-{B}_{{r}_{K}})-(A_{K}-{B}_{{r}_{K}+1}) > m$ ，
这与

${b}_{{r}_{K}+1}\in \{1$ ，

$2...$ ，

$m\}$ 相矛盾，
所以对任意

$1\leqslant n\leqslant m$ ，

$n\in N$ ，均有

$S_{n}\leqslant m-1$ ，
①若存在正整数

$N$ ，使得

$S_{N}=A_{N}-{B}_{{r}_{N}}=0$ ，即

$A_{N}={B}_{{r}_{N}}$ ，
取

$r=p=0$ ，

$q=N$ ，

$s=r_{N}$ ，使得

$A_{P}+B_{s}=A_{q}+B_{r}$ ，
②若不存在正整数

$N$ ，使得

$S_{N}=0$ ，
因为

$S_{n}\in \{1$ ，

$2m$ ，

$\ldots$ ，

$m-1\}$ ，且

$1\leqslant n\leqslant m$ ，
所以必存在

$1\leqslant X < Y\leqslant m$ ，使得

$S_{X}=S_{Y}$ ，即

$A_{X}-{B}_{{r}_{X}}=A_{Y}-{B}_{{r}_{Y}}$ ，可得

$A_{X}+{B}_{{r}_{Y}}=A_{Y}+{B}_{{r}_{X}}$ ，
取

$p=X$ ，

$s=r_{Y}$ ，

$q=Y$ ，

$r=r_{X}$ ，使得

$A_{p}+B_{s}=A_{q}+B_{r}$ ，
若

$A_{m} < B_{m}$ ，设

$S_{n}={B}_{{r}_{n}}-A_{n}$ ，

$1\leqslant n\leqslant m$ ，
根据题意可得

$S_{n}\leqslant 0$ 且

$S_{n}$ 为整数，
反证法：假设存在正整数

$K$ ，使得

$S_{K}\leqslant -m$ ，
则

${B}_{{r}_{K}}-A_{K}\leqslant -m$ ，

${B}_{{r}_{k}+1}-A_{K} > 0$ ，
所以

${b}_{{r}_{k}+1}={B}_{{r}_{k}+1}-{B}_{{r}_{K}}=({B}_{{r}_{K}+1}-A_{K})-({B}_{{r}_{K}}-A_{K}) > m$ ，
这与

${b}_{{r}_{K}+1}\in \{1$ ，

$2...$ ，

$m\}$ 相矛盾，
所以对任意

$1\leqslant n\leqslant m$ ，

$n\in N$ ，均有

$S_{n}\geqslant 1-m$ ，
①若存在正整数

$N$ ，使得

$S_{N}={B}_{{r}_{N}}-A_{N}=0$ ，即

$A_{N}={B}_{{r}_{N}}$ ，
取

$r=p=0$ ，

$q=N$ ，

$s=r_{N}$ ，使得

$A_{P}+B_{s}=A_{q}+B_{r}$ ，
②若不存在正整数

$N$ ，使得

$S_{N}=0$ ，
因为

$S_{n}\in \{-1$ ，

$-2$ ，

$\ldots$ ，

$1-m\}$ ，且

$1\leqslant n\leqslant m$ ，
所以必存在

$1\leqslant X < Y\leqslant m$ ，使得

$S_{X}=S_{Y}$ ，即

$A_{X}+{B}_{{r}_{Y}}=A_{Y}+{B}_{{r}_{X}}$ ，可得

$A_{X}+{B}_{{r}_{Y}}=A_{Y}+{B}_{{r}_{X}}$ ，
取

$p=X$ ，

$s=r_{Y}$ ，

$q=Y$ ，

$r=r_{X}$ ，使得

$A_{p}+B_{s}=A_{q}+B_{r}$ ．
综上所述，存在

$0\leqslant p < q\leqslant m$ ，

$0\leqslant r < s\leqslant m$ ，使得

$A_{p}+B_{s}=A_{q}+B_{r}$ ．
点评：本题考查数列的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．

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