|
2023年高考数学北京8<-->2023年高考数学北京10
（4分）刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体$ABCDEF$，四边形$ABFE$和$CDEF$是全等的等腰梯形，$\Delta ADE$和$\Delta BCF$是全等的等腰三角形．若$AB=25m$，$BC=AD=10m$，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为$\dfrac{\sqrt{14}}{5}$．为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为$($ $)$
A．$102m$ B．$112m$ C．$117m$ D．$125m$
答案：$C$
分析：根据题意及对称性可知底面四边形$ABCD$为矩形，再根据三垂线定理作出等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角，再题目中的数据，计算即可求解．
解：根据题意及对称性可知底面四边形$ABCD$为矩形，
设$E$，$F$在底面矩形的射影点分别为$M$，$N$，
设$AD$与$BC$的中点分别为$P$，$Q$，则$M$，$N$在线段$PQ$上，如图，
过$M$，$N$分别作$AB$的垂线，垂足点分别为$G$，$H$，连接$HF$，$FQ$，
则根据题意及三垂线定理易得$\tan \angle EPM=\tan \angle EGM=\tan \angle FHN=\tan \angle FQN=\dfrac{\sqrt{14}}{5}$，
又$MG=NH=5$，$\therefore FM=FN=\sqrt{14}$，$\therefore PM=QN=5$，$\therefore EP=FQ=\sqrt{14+25}=\sqrt{39}$，
$\therefore MN=PQ-PM-QN=AB-PM-QN=25-5-5=15$，$\therefore EF=MN=15$，
又易知$BC\bot QN$，$FN\bot$底面矩形$ABCD$，
$\therefore$根据三垂线定理可知$BC\bot FQ$，又$BQ=5$，$FQ=\sqrt{39}$，
$\therefore FB=\sqrt{39+25}=8$，$\therefore ED=EA=FC=FB=8$，
$\therefore$该多面体的所有棱长和为$8\times 4+(25+10)\times 2+15=117$．
故所需灯带的长度为$117m$．
故选：$C$．
点评：本题考查几何体的所有棱长和的求解，三垂线定理作二面角，化归转化思想，属中档题．
2023年高考数学北京8<-->2023年高考数学北京10
全网搜索"2023年高考数学北京9"相关
|
