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2023年高考数学北京9

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（4分）刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体

$ABCDEF$ ，四边形

$ABFE$ 和

$CDEF$ 是全等的等腰梯形，

$\Delta ADE$ 和

$\Delta BCF$ 是全等的等腰三角形．若

$AB=25m$ ，

$BC=AD=10m$ ，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为

$\dfrac{\sqrt{14}}{5}$ ．为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为

$($ 　　

$)$

A．

$102m$ B．

$112m$ C．

$117m$ D．

$125m$
答案：

$C$
分析：根据题意及对称性可知底面四边形

$ABCD$ 为矩形，再根据三垂线定理作出等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角，再题目中的数据，计算即可求解．
解：根据题意及对称性可知底面四边形

$ABCD$ 为矩形，
设

$E$ ，

$F$ 在底面矩形的射影点分别为

$M$ ，

$N$ ，
设

$AD$ 与

$BC$ 的中点分别为

$P$ ，

$Q$ ，则

$M$ ，

$N$ 在线段

$PQ$ 上，如图，

过

$M$ ，

$N$ 分别作

$AB$ 的垂线，垂足点分别为

$G$ ，

$H$ ，连接

$HF$ ，

$FQ$ ，
则根据题意及三垂线定理易得

$\tan \angle EPM=\tan \angle EGM=\tan \angle FHN=\tan \angle FQN=\dfrac{\sqrt{14}}{5}$ ，
又

$MG=NH=5$ ，

$\therefore FM=FN=\sqrt{14}$ ，

$\therefore PM=QN=5$ ，

$\therefore EP=FQ=\sqrt{14+25}=\sqrt{39}$ ，

$\therefore MN=PQ-PM-QN=AB-PM-QN=25-5-5=15$ ，

$\therefore EF=MN=15$ ，
又易知

$BC\bot QN$ ，

$FN\bot$ 底面矩形

$ABCD$ ，

$\therefore$ 根据三垂线定理可知

$BC\bot FQ$ ，又

$BQ=5$ ，

$FQ=\sqrt{39}$ ，

$\therefore FB=\sqrt{39+25}=8$ ，

$\therefore ED=EA=FC=FB=8$ ，

$\therefore$ 该多面体的所有棱长和为

$8\times 4+(25+10)\times 2+15=117$ ．
故所需灯带的长度为

$117m$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查几何体的所有棱长和的求解，三垂线定理作二面角，化归转化思想，属中档题．

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