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2023年高考数学北京9<-->2023年高考数学北京11
（4分）数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n+1}=\dfrac{1}{4}(a_{n}-6)^{3}+6$，下列说法正确的是$($ $)$
A．若$a_{1}=3$，则$\{a_{n}\}$是递减数列，$\exists M\in R$，使得$n > m$时，$a_{n} > M$
B．若$a_{1}=5$，则$\{a_{n}\}$是递增数列，$\exists M\leqslant 6$，使得$n > m$时，$a_{n} < M$
C．若$a_{1}=7$，则$\{a_{n}\}$是递减数列，$\exists M > 6$，使得$n > m$时，$a_{n} > M$
D．若$a_{1}=9$，则$\{a_{n}\}$是递增数列，$\exists M\in R$，使得$n > m$时，$a_{n} < M$
答案：$B$
分析：利用数学归纳法进行分析排除即可．
解：对原式进行变形，得$a_{n+1}-a_{n}=[\dfrac{1}{4}(a_{n}-6)^{2}-1](a_{n}-6)$，
当$a_{1}=3$，则$a_{2}-a_{1} < 0$，$a_{2} < 3$，
设$a_{k} < 3(k\in Z,k\geqslant 2)$，则$a_{k+1}-a_{k} < -3$，所以$\{a_{n}\}$是递减数列，
当$n\rightarrow +\infty$，$a_{n}\rightarrow -\infty$，$A$错误，同理可证明$D$错误，
当$a_{1}=5$，则$a_{2}-a_{1} > 0$，即$a_{2} > 5$，又因为$\dfrac{1}{4}(a_{1}-6)^{3} < 0$，所以$5 < a_{2} < 6$，
假设$5 < a_{k} < 6(k\in Z,k\geqslant 2)$，则$a_{k+1}-a_{k} > 0$，即$a_{k+1} > 5$，又因为$\dfrac{1}{4}(a_{k}-6)^{3} < 0$，所以$5 < a_{k+1} < 6$，
所以当$n\rightarrow +\infty$，$a_{n}\rightarrow 6$，$B$正确，
对于$C$，当$a_{1}=7$，代入进去很明显不是递减数列，$C$错误，
故选：$B$．
点评：本题主要考查使用数学归纳法对数列的增减性和敛散性进行判断，属中档题．
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