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2023年高考数学北京10

2023年高考数学北京9<-->2023年高考数学北京11

（4分）数列

$\{a_{n}\}$ 满足

$a_{n+1}=\dfrac{1}{4}(a_{n}-6)^{3}+6$ ，下列说法正确的是

$($ 　　

$)$
A．若

$a_{1}=3$ ，则

$\{a_{n}\}$ 是递减数列，

$\exists M\in R$ ，使得

$n > m$ 时，

$a_{n} > M$
B．若

$a_{1}=5$ ，则

$\{a_{n}\}$ 是递增数列，

$\exists M\leqslant 6$ ，使得

$n > m$ 时，

$a_{n} < M$
C．若

$a_{1}=7$ ，则

$\{a_{n}\}$ 是递减数列，

$\exists M > 6$ ，使得

$n > m$ 时，

$a_{n} > M$
D．若

$a_{1}=9$ ，则

$\{a_{n}\}$ 是递增数列，

$\exists M\in R$ ，使得

$n > m$ 时，

$a_{n} < M$
答案：

$B$
分析：利用数学归纳法进行分析排除即可．
解：对原式进行变形，得

$a_{n+1}-a_{n}=[\dfrac{1}{4}(a_{n}-6)^{2}-1](a_{n}-6)$ ，
当

$a_{1}=3$ ，则

$a_{2}-a_{1} < 0$ ，

$a_{2} < 3$ ，
设

$a_{k} < 3(k\in Z,k\geqslant 2)$ ，则

$a_{k+1}-a_{k} < -3$ ，所以

$\{a_{n}\}$ 是递减数列，
当

$n\rightarrow +\infty$ ，

$a_{n}\rightarrow -\infty$ ，

$A$ 错误，同理可证明

$D$ 错误，
当

$a_{1}=5$ ，则

$a_{2}-a_{1} > 0$ ，即

$a_{2} > 5$ ，又因为

$\dfrac{1}{4}(a_{1}-6)^{3} < 0$ ，所以

$5 < a_{2} < 6$ ，
假设

$5 < a_{k} < 6(k\in Z,k\geqslant 2)$ ，则

$a_{k+1}-a_{k} > 0$ ，即

$a_{k+1} > 5$ ，又因为

$\dfrac{1}{4}(a_{k}-6)^{3} < 0$ ，所以

$5 < a_{k+1} < 6$ ，
所以当

$n\rightarrow +\infty$ ，

$a_{n}\rightarrow 6$ ，

$B$ 正确，
对于

$C$ ，当

$a_{1}=7$ ，代入进去很明显不是递减数列，

$C$ 错误，
故选：

$B$ ．
点评：本题主要考查使用数学归纳法对数列的增减性和敛散性进行判断，属中档题．

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