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2023年高考数学北京7<-->2023年高考数学北京9
（4分）若$xy\ne 0$，则“$x+y=0$”是“$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=-2$”的$($ $)$
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：$C$
分析：由$xy\ne 0$，$x+y=0$，可得$y=-x\ne 0$，进而判断出$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=-2$是否成立；反之，若$xy\ne 0$，$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=-2$，令$\dfrac{x}{y}=t$，可得$\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{t}$，通过换元代入解出$t$，即可判断出结论．
解：由$xy\ne 0$，$x+y=0$，
$\therefore y=-x\ne 0$，
$\therefore$$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=-2$，
反之，若$xy\ne 0$，$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=-2$，
令$\dfrac{x}{y}=t$，则$\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{t}$，
于是$t+\dfrac{1}{t}=-2$，
化为$t^{2}+2t+1=0$，解得$t=-1$，
即$\dfrac{x}{y}=-1$，
$\therefore xy\ne 0$，则“$x+y=0$”是“$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=-2$”的充要条件．
故选：$C$．
点评：本题考查了充要条件的判定方法、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
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