导数 - 91学

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2023年高考数学新高考Ⅱ-11（5分）若函数

$f(x)=a\ln x+\dfrac{b}{x}+\dfrac{c}{{x}^{2}}(a\ne 0)$ 既有极大值也有极小值，则

$($ 　　

$)$
A．

$bc > 0$ B．

$ab > 0$ C．

$b^{2}+8ac > 0$ D．

$ac < 0$ 【答案详解】

2023年高考数学新高考Ⅰ-19（12分）已知函数

$f(x)=a(e^{x}+a)-x$ ．
（1）讨论

$f(x)$ 的单调性；
（2）证明：当

$a > 0$ 时，

$f(x) > 2\ln a+\dfrac{3}{2}$ ．【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-22（12分）已知函数

$f(x)=xe^{ax}-e^{x}$ ．
（1）当

$a=1$ 时，讨论

$f(x)$ 的单调性；
（2）当

$x > 0$ 时，

$f(x) < -1$ ，求

$a$ 的取值范围；
（3）设

$n\in N^{*}$ ，证明：

$\dfrac{1}{\sqrt{{1^2}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{2^2}+2}}+\ldots +\dfrac{1}{\sqrt{{n^2}+n}} > \ln (n+1)$ ．【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-14（5分）曲线

$y=\ln \vert x\vert$ 过坐标原点的两条切线的方程为____.　　【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅰ-22（12分）已知函数

$f(x)=e^{x}-ax$ 和

$g(x)=ax-\ln x$ 有相同的最小值．
（1）求

$a$ ；
（2）证明：存在直线

$y=b$ ，其与两条曲线

$y=f(x)$ 和

$y=g(x)$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅰ-15（5分）若曲线

$y=(x+a)e^{x}$ 有两条过坐标原点的切线，则

$a$ 的取值范围是____【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅰ-12（5分）已知函数

$f(x)$ 及其导函数

$f\prime (x)$ 的定义域均为

$R$ ，记

$g(x)=f\prime (x)$ ．若

$f(\dfrac{3}{2}-2x)$ ，

$g(2+x)$ 均为偶函数，则(　　)
A．

$f(0)=0$ B．

$g(-\dfrac{1}{2})=0$ C．

$f(-1)=f$ （4） D．

$g(-1)=g$ （2）【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅰ-10（5分）已知函数

$f(x)=x^{3}-x+1$ ，则(　　)
A．

$f(x)$ 有两个极值点
B．

$f(x)$ 有三个零点
C．点

$(0,1)$ 是曲线

$y=f(x)$ 的对称中心
D．直线

$y=2x$ 是曲线

$y=f(x)$ 的切线【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅰ-7（5分）设

$a=0.1e^{0.1}$ ，

$b=\dfrac{1}{9}$ ，

$c=-\ln 0.9$ ，则(　　)
A．

$a < b < c$ B．

$c < b < a$ C．

$c < a < b$ D．

$a < c < b$ 【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅰ-22（12分）已知函数

$f(x)=x(1-\ln x)$ ．
（1）讨论

$f(x)$ 的单调性；
（2）设

$a$ ，

$b$ 为两个不相等的正数，且

$b\ln a-a\ln b=a-b$ ，证明：

$2<\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}<e$ ．【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅰ-15（5分）函数

$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x$ 的最小值为____．【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅰ-7（5分）若过点

$(a,b)$ 可以作曲线

$y=e^{x}$ 的两条切线，则(　　)
A．

$e^{b}<a$
B．

$e^{a}<b$
C．

$0<a<e^{b}$
D．

$0<b<e^{a}$ 【答案详解】

2020年高考数学新高考Ⅱ-22（12分）已知函数

$f(x)=ae^{x-1}-\ln x+\ln a$ ．
（1）当

$a=e$ 时，求曲线

$y=f(x)$ 在点

$(1$ ，

$f$ （1）

$)$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若

$f(x)\geqslant 1$ ，求

$a$ 的取值范围．【答案详解】

2020年高考数学全国卷Ⅲ--文20(2020全国Ⅲ卷计算题)已知函数。（1）讨论的单调性。（2）若有三个零点，求的取值范围。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ卷）：文数第20题【答案】（1）因为，所以。
当时，对恒成立，此时在上单调递增；当时，令，得，，则在、上单【答案详解】

2020年高考数学全国卷Ⅲ--文15(2020全国Ⅲ卷其他)设函数，若，则_____。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ卷）：文数第15题【答案】【解析】本题主要考查导数的计算。因为，所以，因为，所以，所以，解得。故本题正确答案为。【考点】导数的计算【答案详解】

2020年高考数学全国卷Ⅱ--文21(2020全国Ⅱ卷计算题)已知函数。（1）若，求的取值范围。（2）设，讨论函数的单调性。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）：文数第21题【答案】（1），即，令（），则（），令得，此时单调递增，令得，此时单调递减，所以当时，有最大值，所以，所【答案详解】

2020年高考数学全国卷Ⅰ--文20(2020全国Ⅰ卷计算题)已知函数。（1）当时，讨论的单调性。（2）若有两个零点，求的取值范围。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）：文数第20题【答案】（1）当时，，所以，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增【答案详解】

2020年高考数学全国卷Ⅰ--文15(2020全国Ⅰ卷其他)曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为_____。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）：文数第15题【答案】【解析】本题主要考查导数的概念及其几何意义。函数的导函数为。令，解得【答案详解】

2020年高考数学浙江22(2020浙江卷计算题)已知，函数，其中为自然对数的底数。（1）证明：函数在上有唯一零点。（2）记为函数在上的零点，证明：（i）。（ii）。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）：数学第22题【答案】（1）证明：因为，当时，，所以在上单调递增，所【答案详解】

2020年高考数学江苏19(2020江苏卷计算题)已知关于的函数，与（，）在区间上恒有。（1）若，，，求的表达式。（2）若，，，，求的取值范围。（3）若，，（），，求证：。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第19题【答案】（1）由得，又因为，，所以，所以函数的图象为过原点，斜率为的【答案详解】

2020年高考数学江苏17(2020江苏卷计算题)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与MN平行，为铅垂线（在上），经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式，右侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距【答案详解】

2020年高考数学江苏14(2020江苏卷其他)在平面直角坐标系中，已知，，是圆：上的两个动点，满足，则面积的最大值是_____。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第14题【答案】【解析】本题主要考查圆与方程和导数在研究函数中的应用【答案详解】

2020年高考数学天津20(2020天津卷计算题)已知函数（），为的导函数。（1）当时，（i）求曲线在点处的切线方程。（ii）求函数的单调区间和极值。（2）当时，求证：对任意的，，且，有。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：数学第20题【答案】（1）（i）当时，，所以，所以，。【答案详解】

2020年高考数学新高考Ⅰ-21(2020新高考Ⅰ卷计算题)已知函数。（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积。（2）若，求的取值范围。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）：数学第21题【答案】（1）当时，，所以，所以在点处的切线的【答案详解】

2020年高考数学北京19(2020北京卷计算题)已知函数。（1）求曲线的斜率等于的切线方程。（2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：数学第19题【答案】（1）因为，且求曲线的斜【答案详解】

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