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2022年高考数学新高考Ⅱ-13<-->2022年高考数学新高考Ⅱ-15
（5分）曲线$y=\ln \vert x\vert$过坐标原点的两条切线的方程为 $x-ey=0$ ， ．
分析：当$x > 0$时，$y=\ln x$，设切点坐标为$(x_{0}$，$\ln x_{0})$，利用导数的几何意义表达出切线的斜率，进而表达出切线方程，再把原点代入即可求出$x_{0}$的值，从而得到切线方程，当$x < 0$时，根据对称性可求出另一条切线方程．
解：当$x > 0$时，$y=\ln x$，设切点坐标为$(x_{0}$，$\ln x_{0})$，
$\because y'=\dfrac{1}{x}$，$\therefore$切线的斜率$k=\dfrac{1}{{x}_{0}}$，
$\therefore$切线方程为$y-\ln x_{0}=\dfrac{1}{{x}_{0}}(x-x_{0})$，
又$\because$切线过原点，$\therefore -\ln x_{0}=-1$，
$\therefore x_{0}=e$，
$\therefore$切线方程为$y-1=\dfrac{1}{e}(x-e)$，即$x-ey=0$，
当$x < 0$时，$y=\ln (-x)$，与$y=\ln x$的图像关于$y$轴对称，
$\therefore$切线方程也关于$y$轴对称，
$\therefore$切线方程为$x+ey=0$，
综上所述，曲线$y=\ln \vert x\vert$经过坐标原点的两条切线方程分别为$x-ey=0$，$x+ey=0$，
故答案为：$x-ey=0$，$x+ey=0$．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
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