2022年高考数学新高考Ⅱ-15

（5分）设点

$A(-2,3)$ ，

$B(0,a)$ ，若直线

$AB$ 关于

$y=a$ 对称的直线与圆

$(x+3)^{2}+(y+2)^{2}=1$ 有公共点，则

$a$ 的取值范围是　

$[\dfrac{1}{3}$ ，

$\dfrac{3}{2}]$ 　．
分析：求出

$AB$ 的斜率，然后求解直线

$AB$ 关于

$y=a$ 对称的直线方程，利用圆的圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等式求解

$a$ 的范围即可．
解：点

$A(-2,3)$ ，

$B(0,a)$ ，

$k_{AB}=\dfrac{a-3}{2}$ ，所以直线

$AB$ 关于

$y=a$ 对称的直线的斜率为：

$\dfrac{3-a}{2}$ ，所以对称直线方程为：

$y-a=\dfrac{3-a}{2}\cdot x$ ，即：

$(3-a)x-2y+2a=0$ ，

$(x+3)^{2}+(y+2)^{2}=1$ 的圆心

$(-3,-2)$ ，半径为1，
所以

$\dfrac{\vert 3(a-3)+4+2a\vert }{\sqrt{4+(3-a)^{2}}}\leqslant 1$ ，得

$12a^{2}-22a+6\leqslant 0$ ，解得

$a\in [\dfrac{1}{3}$ ，

$\dfrac{3}{2}]$ ．
故答案为：

$[\dfrac{1}{3}$ ，

$\dfrac{3}{2}]$ ．
点评：本题考查直线与圆的位置关系的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

相关知识

直线与圆

学习笔记（共有 0 条）