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直线与圆的位置关系

圆与点的位置关系<-->求切线方程

直线与圆的位置关系
Ⅰ、直线与圆的位置关系:

Ⅱ、直线与圆的位置关系的判断方法与步骤：
⑴几何方法：
依圆心到直线的距离与半径长的大小关系做出判断。其步骤为：
1° 把直线方程化为一般式，求出圆心和半径r；
2° 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离

；
3° 作判断：当

时，直线与圆相离；当

时，直线与圆相切；当

时，直线与圆相交。

⑵代数方法：
联立直线与圆方程的方程组，由方程组解的个数做出判断。其步骤为：
1° 将直线方程与圆的方程联立成方程组；
2° 利用消元法，得到关于某一个元的一元二次方程；
3° 求出一元二次方程的判别式Δ的值；
4° 比较Δ与0的大小：若

，则直线与圆相离；若

，则直线与圆相切；若

，则直线与圆相交。反之也成立。

详解：

圆与直线位置关系的特点研究：
⑴设圆：与直线相交于两点，若直线的斜率为，则弦长为
。
或    ，其中是圆心到直线的距离（据垂径分弦定理）。

⑵设圆：与直线相切：
1^o 若已知圆：与直线相切于点，
则已知切点的圆切线方程为
。

或    （据圆的切线判定定理）。
2^o 若过已知圆外一点，求圆：的切线方程。
设过圆外一点的圆的切线方程为
，
由求得，于是可得求切线方程。
注意，过圆外一点的圆的切线一定有两条，若求得只有一个解，那么一定存在另一条垂直于轴的切线。

3^o 若已知切线的斜率为，求圆：的切线方程。
设圆的切线方程为，
由，求得，于是可求得切线方程。
⑶设圆：与直线相离，则可求与圆距离最近与最远的点，或求直线与圆最短与最长的距离。
设圆：，直线：。
1^o 方法1：求圆心到直线的距离，则圆上点到直线的距离的最大值为，最小值为。

2^o 方法2：平行于直线的动直线：与圆相切时，平行线与之间的距离就是直线与圆的最短或最远的距离。