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2022年高考数学新高考Ⅱ-16

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（5分）已知直线

$l$ 与椭圆

$\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 在第一象限交于

$A$ ，

$B$ 两点，

$l$ 与

$x$ 轴、

$y$ 轴分别相交于

$M$ ，

$N$ 两点，且

$\vert MA\vert =\vert NB\vert$ ，

$\vert MN\vert =2\sqrt{3}$ ，则

$l$ 的方程为　

$x+\sqrt{2}y-2\sqrt{2}=0$ 　．
分析：设

$A(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$B(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，线段

$AB$ 的中点为

$E$ ，可得

$k_{OE}\cdot k_{AB}=\dfrac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}\cdot \dfrac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=-\dfrac{1}{2}$ ，设直线

$l$ 的方程为：

$y=kx+m$ ，

$k < 0$ ，

$m > 0$ ，

$M(-\dfrac{m}{k}$ ，

$0)$ ，

$N(0,m)$ ，可得

$E(-\dfrac{m}{2k}$ ，

$\dfrac{m}{2})$ ，

$k_{OE}=-k$ ，进而得出

$k$ ，再利用

$\vert MN\vert =2\sqrt{3}$ ，解得

$m$ ，即可得出

$l$ 的方程．
解：设

$A(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$B(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，线段

$AB$ 的中点为

$E$ ，
由

$\dfrac{{x}_{1}^{2}}{6}+\dfrac{{y}_{1}^{2}}{3}=1$ ，

$\dfrac{{x}_{2}^{2}}{6}+\dfrac{{y}_{2}^{2}}{3}=1$ ，
相减可得：

$\dfrac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}=-\dfrac{1}{2}$ ，
则

$k_{OE}\cdot k_{AB}=\dfrac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}\cdot \dfrac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\dfrac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}=-\dfrac{1}{2}$ ，
设直线

$l$ 的方程为：

$y=kx+m$ ，

$k < 0$ ，

$m > 0$ ，

$M(-\dfrac{m}{k}$ ，

$0)$ ，

$N(0,m)$ ，

$\therefore E(-\dfrac{m}{2k}$ ，

$\dfrac{m}{2})$ ，

$\therefore k_{OE}=-k$ ，

$\therefore -k\cdot k=-\dfrac{1}{2}$ ，解得

$k=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，

$\because \vert MN\vert =2\sqrt{3}$ ，

$\therefore$

$\sqrt{\dfrac{{m}^{2}}{{k}^{2}}+{m}^{2}}=2\sqrt{3}$ ，化为：

$\dfrac{{m}^{2}}{{k}^{2}}+m^{2}=12$ ．

$\therefore 3m^{2}=12$ ，

$m > 0$ ，解得

$m=2$ ．

$\therefore l$ 的方程为

$y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+2$ ，即

$x+\sqrt{2}y-2\sqrt{2}=0$ ，
故答案为：

$x+\sqrt{2}y-2\sqrt{2}=0$ ．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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