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2022年高考数学新高考Ⅱ-15<-->2022年高考数学新高考Ⅱ-17
（5分）已知直线$l$与椭圆$\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{3}=1$在第一象限交于$A$，$B$两点，$l$与$x$轴、$y$轴分别相交于$M$，$N$两点，且$\vert MA\vert =\vert NB\vert$，$\vert MN\vert =2\sqrt{3}$，则$l$的方程为 $x+\sqrt{2}y-2\sqrt{2}=0$ ．
分析：设$A(x_{1}$，$y_{1})$，$B(x_{2}$，$y_{2})$，线段$AB$的中点为$E$，可得$k_{OE}\cdot k_{AB}=\dfrac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}\cdot \dfrac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=-\dfrac{1}{2}$，设直线$l$的方程为：$y=kx+m$，$k < 0$，$m > 0$，$M(-\dfrac{m}{k}$，$0)$，$N(0,m)$，可得$E(-\dfrac{m}{2k}$，$\dfrac{m}{2})$，$k_{OE}=-k$，进而得出$k$，再利用$\vert MN\vert =2\sqrt{3}$，解得$m$，即可得出$l$的方程．
解：设$A(x_{1}$，$y_{1})$，$B(x_{2}$，$y_{2})$，线段$AB$的中点为$E$，
由$\dfrac{{x}_{1}^{2}}{6}+\dfrac{{y}_{1}^{2}}{3}=1$，$\dfrac{{x}_{2}^{2}}{6}+\dfrac{{y}_{2}^{2}}{3}=1$，
相减可得：$\dfrac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}=-\dfrac{1}{2}$，
则$k_{OE}\cdot k_{AB}=\dfrac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}\cdot \dfrac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\dfrac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}=-\dfrac{1}{2}$，
设直线$l$的方程为：$y=kx+m$，$k < 0$，$m > 0$，$M(-\dfrac{m}{k}$，$0)$，$N(0,m)$，
$\therefore E(-\dfrac{m}{2k}$，$\dfrac{m}{2})$，$\therefore k_{OE}=-k$，
$\therefore -k\cdot k=-\dfrac{1}{2}$，解得$k=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
$\because \vert MN\vert =2\sqrt{3}$，$\therefore$$\sqrt{\dfrac{{m}^{2}}{{k}^{2}}+{m}^{2}}=2\sqrt{3}$，化为：$\dfrac{{m}^{2}}{{k}^{2}}+m^{2}=12$．
$\therefore 3m^{2}=12$，$m > 0$，解得$m=2$．
$\therefore l$的方程为$y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+2$，即$x+\sqrt{2}y-2\sqrt{2}=0$，
故答案为：$x+\sqrt{2}y-2\sqrt{2}=0$．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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