2022年高考数学新高考Ⅱ-17

（10分）已知

$\{a_{n}\}$ 是等差数列，

$\{b_{n}\}$ 是公比为2的等比数列，且

$a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=b_{4}-a_{4}$ ．
（1）证明：

$a_{1}=b_{1}$ ；
（2）求集合

$\{k\vert b_{k}=a_{m}+a_{1}$ ，

$1\leqslant m\leqslant 500\}$ 中元素的个数．
分析：（1）设等差数列

$\{a_{n}\}$ 的公差为

$d$ ，由题意可得

$a_{1}+d-2b_{1}=a_{1}+2d-4b_{1}$ ，

$a_{1}+d-2b_{1}=4d-(a_{1}+3d)$ ，根据这两式即可证明

$a_{1}=b_{1}$ ；
（2）由题设条件可知

$2^{k-1}=2m$ ，由

$m$ 的范围，求出

$k$ 的范围，进而得出答案．
解：（1）证明：设等差数列

$\{a_{n}\}$ 的公差为

$d$ ，
由

$a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}$ ，得

$a_{1}+d-2b_{1}=a_{1}+2d-4b_{1}$ ，则

$d=2b_{1}$ ，
由

$a_{2}-b_{2}=b_{4}-a_{4}$ ，得

$a_{1}+d-2b_{1}=8b_{1}-(a_{1}+3d)$ ，
即

$a_{1}+d-2b_{1}=4d-(a_{1}+3d)$ ，

$\therefore a_{1}=b_{1}$ ．
（2）由（1）知，

$d=2b_{1}=2a_{1}$ ，
由

$b_{k}=a_{m}+a_{1}$ 知，

${b}_{1}\cdot {2}^{k-1}={a}_{1}+(m-1)d+{a}_{1}$ ，

$\therefore$

${b}_{1}\cdot {2}^{k-1}={b}_{1}+(m-1)\cdot 2{b}_{1}+{b}_{1}$ ，即

$2^{k-1}=2m$ ，
又

$1\leqslant m\leqslant 500$ ，故

$2\leqslant 2^{k-1}\leqslant 1000$ ，则

$2\leqslant k\leqslant 10$ ，
故集合

$\{k\vert b_{k}=a_{m}+a_{1}$ ，

$1\leqslant m\leqslant 500\}$ 中元素个数为9个．
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．

相关知识

数列

学习笔记（共有 0 条）