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2022年高考数学新高考Ⅱ-17<-->2022年高考数学新高考Ⅱ-19
（12分）记$\Delta ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，分别以$a$，$b$，$c$为边长的三个正三角形的面积依次为$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$．已知$S_{1}-S_{2}+S_{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin B=\dfrac{1}{3}$．
（1）求$\Delta ABC$的面积；
（2）若$\sin A\sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，求$b$．
分析：（1）根据$S_{1}-S_{2}+S_{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，求得$a^{2}-b^{2}+c^{2}=2$，由余弦定理求得$ac$的值，根据$S=\dfrac{1}{2}ac\sin B$，求$\Delta ABC$面积．
（2）由正弦定理得$\therefore a=\dfrac{b\sin A}{\sin B}$，$c=\dfrac{b\sin C}{\sin B}$，且$ac=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$，求解即可．
解：（1）$S_{1}=\dfrac{1}{2}a^{2}\sin 60^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$，
$S_{2}=\dfrac{1}{2}b^{2}\sin 60^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}b^{2}$，
$S_{3}=\dfrac{1}{2}c^{2}\sin 60^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}c^{2}$，
$\because S_{1}-S_{2}+S_{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}b^{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}c^{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：$a^{2}-b^{2}+c^{2}=2$，
$\because \sin B=\dfrac{1}{3}$，$a^{2}-b^{2}+c^{2}=2 > 0$，即$\cos B > 0$，
$\therefore \cos B=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，
$\therefore \cos B=\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，
解得：$ac=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$，
$S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{8}$．
$\therefore \Delta ABC$的面积为$\dfrac{\sqrt{2}}{8}$．
（2）由正弦定理得：$\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}$，
$\therefore a=\dfrac{b\sin A}{\sin B}$，$c=\dfrac{b\sin C}{\sin B}$，
由（1）得$ac=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$，
$\therefore ac=\dfrac{b\sin A}{\sin B}\cdot \dfrac{b\sin C}{\sin B}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
已知，$\sin B=\dfrac{1}{3}$，$\sin A\sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，
解得：$b=\dfrac{1}{2}$．
点评：本题考查利用正余弦定理解三角形，需灵活运用正余弦定理公式．
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