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2022年高考数学新高考Ⅱ-18

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（12分）记

$\Delta ABC$ 的内角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 的对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，分别以

$a$ ，

$b$ ，

$c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为

$S_{1}$ ，

$S_{2}$ ，

$S_{3}$ ．已知

$S_{1}-S_{2}+S_{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$\sin B=\dfrac{1}{3}$ ．
（1）求

$\Delta ABC$ 的面积；
（2）若

$\sin A\sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ ，求

$b$ ．
分析：（1）根据

$S_{1}-S_{2}+S_{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，求得

$a^{2}-b^{2}+c^{2}=2$ ，由余弦定理求得

$ac$ 的值，根据

$S=\dfrac{1}{2}ac\sin B$ ，求

$\Delta ABC$ 面积．
（2）由正弦定理得

$\therefore a=\dfrac{b\sin A}{\sin B}$ ，

$c=\dfrac{b\sin C}{\sin B}$ ，且

$ac=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$ ，求解即可．
解：（1）

$S_{1}=\dfrac{1}{2}a^{2}\sin 60^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$ ，

$S_{2}=\dfrac{1}{2}b^{2}\sin 60^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}b^{2}$ ，

$S_{3}=\dfrac{1}{2}c^{2}\sin 60^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}c^{2}$ ，

$\because S_{1}-S_{2}+S_{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}b^{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}c^{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，
解得：

$a^{2}-b^{2}+c^{2}=2$ ，

$\because \sin B=\dfrac{1}{3}$ ，

$a^{2}-b^{2}+c^{2}=2 > 0$ ，即

$\cos B > 0$ ，

$\therefore \cos B=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ ，

$\therefore \cos B=\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ ，
解得：

$ac=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$ ，

$S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{8}$ ．

$\therefore \Delta ABC$ 的面积为

$\dfrac{\sqrt{2}}{8}$ ．
（2）由正弦定理得：

$\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}$ ，

$\therefore a=\dfrac{b\sin A}{\sin B}$ ，

$c=\dfrac{b\sin C}{\sin B}$ ，
由（1）得

$ac=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$ ，

$\therefore ac=\dfrac{b\sin A}{\sin B}\cdot \dfrac{b\sin C}{\sin B}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
已知，

$\sin B=\dfrac{1}{3}$ ，

$\sin A\sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ ，
解得：

$b=\dfrac{1}{2}$ ．
点评：本题考查利用正余弦定理解三角形，需灵活运用正余弦定理公式．

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