2020年高考数学浙江21<-->返回列表
已知，函数，其中为自然对数的底数。
（1）证明：函数在上有唯一零点。
（2）记为函数在上的零点，证明：
（i）。
（ii）。
（1）证明：因为，
当时，，
所以在上单调递增，
所以最多只有一个零点，
因为，，
所以由零点存在定理，存在使得，
即函数在上有唯一零点。
（2）证明：（i），
令，则且，
设，则，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，
所以时，恒成立，
所以在上单调递减，
因此，
即，从而由单调递增得。
再证：，
注意到，
令，则，
设，
所以，
则在上恒成立，
因为，
所以在上恒成立，
因此在上单调递增，
所以
又因为在上单调递增，
综上，。
（ii）满足：，
设
，
其中，。
因为是关于的二次函数，图象开口向上，
且对称轴是直线，
所以函数在上单调递增，
所以。
因此欲证命题：成立，
只需证明：，
它等价于，
因为，且，
所以利用在上恒成立可得，
即，
所以原命题成立。
本题主要考查导数的计算和导数在研究函数中的应用。
（1）求导，得到在上单调递增，根据零点存在定理证明即可。
（2）（i）先证左边的不等式：令，则且，设，求导两次得到在上单调递减，则有，即，从而由单调递增得。再证右边的不等式：令，，求导两次得到在上单调递增，则，从而由单调递增得，即可得证。
（ii）根据（，，）得到，则是关于的二次函数，图象开口向上，证明对称轴在轴左边，从而求出二次函数在上的最小值为，证明即可。
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