2020年高考数学北京18<-->2020年高考数学北京20
已知函数。
（1）求曲线的斜率等于的切线方程。
（2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值。
（1）因为，且求曲线的斜率等于的切线，
所以有，
解得，
所以，
所以切线方程为，
整理得。
（2）由（1）可知，
所以在处切线的斜率为，
因为，
整理得，
当时，，
所以切线与轴的交点为，
①当时，，
则，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
所以。
②当，，
综上所述，当时，最小值为。
本题主要考查导数在研究函数中的应用和导数的概念及其几何意义。
（1）根据题意可得，据此求出切点坐标，代入即可求出切线方程。
（2）先求出切线与轴和轴的交点，即可求出三角形的面积方程，分和两种情况讨论函数的单调性即可求解。
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