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2022年高考数学新高考Ⅰ-14<-->2022年高考数学新高考Ⅰ-16
（5分）若曲线$y=(x+a)e^{x}$有两条过坐标原点的切线，则$a$的取值范围是 $(-\infty$，$-4)\bigcup (0$，$+\infty )$ ．
分析：设切点坐标为$(x_{0}$，$(x_{0}+a){e}^{{x}_{0}})$，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得${{x}_{0}}^{2}+a{x}_{0}-a=0$，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由△$ > 0$即可求出$a$的取值范围．
解：$y'=e^{x}+(x+a)e^{x}$，设切点坐标为$(x_{0}$，$(x_{0}+a){e}^{{x}_{0}})$，
$\therefore$切线的斜率$k={e}^{{x}_{0}}+({x}_{0}+a){e}^{{x}_{0}}$，
$\therefore$切线方程为$y-(x_{0}+a){e}^{{x}_{0}}=({e}^{{x}_{0}}+({x}_{0}+a){e}^{{x}_{0}})(x-x_{0})$，
又$\because$切线过原点，$\therefore -(x_{0}+a){e}^{{x}_{0}}=({e}^{{x}_{0}}+({x}_{0}+a){e}^{{x}_{0}})(-x_{0})$，
整理得：${{x}_{0}}^{2}+a{x}_{0}-a=0$，
$\because$切线存在两条，$\therefore$方程有两个不等实根，
$\therefore$△$=a^{2}+4a > 0$，解得$a < -4$或$a > 0$，
即$a$的取值范围是$(-\infty$，$-4)\bigcup (0$，$+\infty )$，
故答案为：$(-\infty$，$-4)\bigcup (0$，$+\infty )$．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
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