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2022年高考数学新高考Ⅰ-16

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（5分）已知椭圆

$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ ，

$C$ 的上顶点为

$A$ ，两个焦点为

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ ，离心率为

$\dfrac{1}{2}$ ．过

$F_{1}$ 且垂直于

$AF_{2}$ 的直线与

$C$ 交于

$D$ ，

$E$ 两点，

$\vert DE\vert =6$ ，则

$\Delta ADE$ 的周长是　13　．
分析：根据已知条件，先设出含

$c$ 的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出

$c$ 的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．
解：

$\because$ 椭圆

$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的离心率为

$\dfrac{1}{2}$ ，

$\therefore$ 不妨可设椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$ ，

$a=2c$ ，

$\because C$ 的上顶点为

$A$ ，两个焦点为

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ ，

$\therefore$ △

$AF_{1}F_{2}$ 为等边三角形，

$\because$ 过

$F_{1}$ 且垂直于

$AF_{2}$ 的直线与

$C$ 交于

$D$ ，

$E$ 两点，

$\therefore$

${k}_{DE}=\tan 30^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，
由等腰三角形的性质可得，

$\vert AD\vert =\vert DF_{2}\vert$ ，

$\vert AE\vert =\vert EF_{2}\vert$ ，
设直线

$DE$ 方程为

$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+c)$ ，

$D(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$E(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，
将其与椭圆

$C$ 联立化简可得，

$13x^{2}+8cx-32c^{2}=0$ ，
由韦达定理可得，

${x}_{1}+{x}_{2}=-\dfrac{8c}{13}$ ，

${x}_{1}{x}_{2}=-\dfrac{32{c}^{2}}{13}$ ，

$\vert DE\vert =\sqrt{{k}^{2}+1}\vert {x}_{1}-{x}_{2}\vert =\sqrt{{k}^{2}+1}\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{3}+1}\cdot \sqrt{(-\dfrac{8c}{13})^{2}+\dfrac{128{c}^{2}}{13}}=\dfrac{48}{13}c=6$ ，解得

$c=\dfrac{13}{8}$ ，
由椭圆的定义可得，

$\Delta ADE$ 的周长等价于

$\vert DE\vert +\vert DF_{2}\vert +\vert EF_{2}\vert =4a=8c=8\times \dfrac{13}{8}=13$ ．
故答案为：13．
点评：本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．

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