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2022年高考数学新高考Ⅰ-15<-->2022年高考数学新高考Ⅰ-17
（5分）已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$，$C$的上顶点为$A$，两个焦点为$F_{1}$，$F_{2}$，离心率为$\dfrac{1}{2}$．过$F_{1}$且垂直于$AF_{2}$的直线与$C$交于$D$，$E$两点，$\vert DE\vert =6$，则$\Delta ADE$的周长是 13 ．
分析：根据已知条件，先设出含$c$的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出$c$的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．
解：$\because$椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$的离心率为$\dfrac{1}{2}$，
$\therefore$不妨可设椭圆$C:\dfrac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，$a=2c$，
$\because C$的上顶点为$A$，两个焦点为$F_{1}$，$F_{2}$，
$\therefore$△$AF_{1}F_{2}$为等边三角形，
$\because$过$F_{1}$且垂直于$AF_{2}$的直线与$C$交于$D$，$E$两点，
$\therefore$${k}_{DE}=\tan 30^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
由等腰三角形的性质可得，$\vert AD\vert =\vert DF_{2}\vert$，$\vert AE\vert =\vert EF_{2}\vert$，
设直线$DE$方程为$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+c)$，$D(x_{1}$，$y_{1})$，$E(x_{2}$，$y_{2})$，
将其与椭圆$C$联立化简可得，$13x^{2}+8cx-32c^{2}=0$，
由韦达定理可得，${x}_{1}+{x}_{2}=-\dfrac{8c}{13}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\dfrac{32{c}^{2}}{13}$，
$\vert DE\vert =\sqrt{{k}^{2}+1}\vert {x}_{1}-{x}_{2}\vert =\sqrt{{k}^{2}+1}\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{3}+1}\cdot \sqrt{(-\dfrac{8c}{13})^{2}+\dfrac{128{c}^{2}}{13}}=\dfrac{48}{13}c=6$，解得$c=\dfrac{13}{8}$，
由椭圆的定义可得，$\Delta ADE$的周长等价于$\vert DE\vert +\vert DF_{2}\vert +\vert EF_{2}\vert =4a=8c=8\times \dfrac{13}{8}=13$．
故答案为：13．
点评：本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．
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