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2022年高考数学新高考Ⅰ-16<-->2022年高考数学新高考Ⅰ-18
（10分）记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，已知$a_{1}=1$，$\{\dfrac{{S}_{n}}{{a}_{n}}\}$是公差为$\dfrac{1}{3}$的等差数列．
（1）求$\{a_{n}\}$的通项公式；
（2）证明：$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\ldots +\dfrac{1}{a_n} < 2$．
分析：（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．
解：（1）已知$a_{1}=1$，$\{\dfrac{{S}_{n}}{{a}_{n}}\}$是公差为$\dfrac{1}{3}$的等差数列，
所以$\dfrac{{S}_{n}}{{a}_{n}}=1+\dfrac{1}{3}(n-1)=\dfrac{1}{3}n+\dfrac{2}{3}$，整理得${S}_{n}=\dfrac{1}{3}{na}_{n}+\dfrac{2}{3}{a}_{n}$，①，
故当$n\geqslant 2$时，${S}_{n-1}=\dfrac{1}{3}{(n-1)a}_{n-1}+\dfrac{2}{3}{a}_{n-1}$，②，
①$-$②得：$\dfrac{1}{3}{a}_{n}=\dfrac{1}{3}{na}_{n}-\dfrac{1}{3}{na}_{n-1}-\dfrac{1}{3}{a}_{n-1}$，
故$(n-1)a_{n}=(n+1)a_{n-1}$，
化简得：$\dfrac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\dfrac{n+1}{n-1}$，$\dfrac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\dfrac{n}{n-2}$，$........$，$\dfrac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\dfrac{4}{2}$，$\dfrac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\dfrac{3}{1}$；
所以$\dfrac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\dfrac{n(n+1)}{2}$，
故${a}_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$（首项符合通项）．
所以${a}_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$．
证明：（2）由于${a}_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$，
所以$\dfrac{1}{{a}_{n}}=\dfrac{2}{n(n+1)}=2(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})$，
所以$\dfrac{1}{{a}_{1}}+\dfrac{1}{{a}_{2}}+...+\dfrac{1}{{a}_{n}}=2(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})=2\times (1-\dfrac{1}{n+1}) < 2$．
点评：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
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