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2022年高考数学新高考Ⅰ-17

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（10分）记

$S_{n}$ 为数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，已知

$a_{1}=1$ ，

$\{\dfrac{{S}_{n}}{{a}_{n}}\}$ 是公差为

$\dfrac{1}{3}$ 的等差数列．
（1）求

$\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）证明：

$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\ldots +\dfrac{1}{a_n} < 2$ ．
分析：（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．
解：（1）已知

$a_{1}=1$ ，

$\{\dfrac{{S}_{n}}{{a}_{n}}\}$ 是公差为

$\dfrac{1}{3}$ 的等差数列，
所以

$\dfrac{{S}_{n}}{{a}_{n}}=1+\dfrac{1}{3}(n-1)=\dfrac{1}{3}n+\dfrac{2}{3}$ ，整理得

${S}_{n}=\dfrac{1}{3}{na}_{n}+\dfrac{2}{3}{a}_{n}$ ，①，
故当

$n\geqslant 2$ 时，

${S}_{n-1}=\dfrac{1}{3}{(n-1)a}_{n-1}+\dfrac{2}{3}{a}_{n-1}$ ，②，
①

$-$ ②得：

$\dfrac{1}{3}{a}_{n}=\dfrac{1}{3}{na}_{n}-\dfrac{1}{3}{na}_{n-1}-\dfrac{1}{3}{a}_{n-1}$ ，
故

$(n-1)a_{n}=(n+1)a_{n-1}$ ，
化简得：

$\dfrac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\dfrac{n+1}{n-1}$ ，

$\dfrac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\dfrac{n}{n-2}$ ，

$........$ ，

$\dfrac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\dfrac{4}{2}$ ，

$\dfrac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\dfrac{3}{1}$ ；
所以

$\dfrac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\dfrac{n(n+1)}{2}$ ，
故

${a}_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$ （首项符合通项）．
所以

${a}_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$ ．
证明：（2）由于

${a}_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$ ，
所以

$\dfrac{1}{{a}_{n}}=\dfrac{2}{n(n+1)}=2(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})$ ，
所以

$\dfrac{1}{{a}_{1}}+\dfrac{1}{{a}_{2}}+...+\dfrac{1}{{a}_{n}}=2(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})=2\times (1-\dfrac{1}{n+1}) < 2$ ．
点评：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

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