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2022年高考数学新高考Ⅰ-13<-->2022年高考数学新高考Ⅰ-15
（5分）写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程 x=−1（填3x+4y−5=0，7x−24y−25=0都正确） ．
分析：由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．
解：圆x2+y2=1的圆心坐标为O(0,0)，半径r1=1，
圆(x−3)2+(y−4)2=16的圆心坐标为C(3,4)，半径r2=4，
如图：
∵|OC|=r1+r2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
∵kOC=43，∴l1的斜率为−34，设直线l1:y=−34x+b，即3x+4y−4b=0，
由|−4b|5=1，解得b=54（负值舍去），则l1:3x+4y−5=0；
由图可知，l2:x=−1；l2与l3关于直线y=43x对称，
联立{x=−1y=43x，解得l2与l3的一个交点为(−1,−43)，在l2上取一点(−1,0)，
该点关于y=43x的对称点为(x0，y0)，则{y02=43⋅x0−12y0x0+1=−34，解得对称点为(725，−2425)．
∴kl3=−2425+43725+1=724，则l3:y=724(x+1)−43，即7x−24y−25=0．
∴与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程为：
x=−1（填3x+4y−5=0，7x−24y−25=0都正确）．
故答案为：x=−1（填3x+4y−5=0，7x−24y−25=0都正确）．
点评：本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
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