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2022年高考数学新高考Ⅰ-13<-->2022年高考数学新高考Ⅰ-15
（5分）写出与圆$x^{2}+y^{2}=1$和$(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16$都相切的一条直线的方程 $x=-1$（填$3x+4y-5=0$，$7x-24y-25=0$都正确） ．
分析：由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．
解：圆$x^{2}+y^{2}=1$的圆心坐标为$O(0,0)$，半径$r_{1}=1$，
圆$(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16$的圆心坐标为$C(3,4)$，半径$r_{2}=4$，
如图：
$\because \vert OC\vert =r_{1}+r_{2}$，$\therefore$两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
$\because$${k}_{OC}=\dfrac{4}{3}$，$\therefore l_{1}$的斜率为$-\dfrac{3}{4}$，设直线$l_{1}:y=-\dfrac{3}{4}x+b$，即$3x+4y-4b=0$，
由$\dfrac{\vert -4b\vert }{5}=1$，解得$b=\dfrac{5}{4}$（负值舍去），则$l_{1}:3x+4y-5=0$；
由图可知，$l_{2}:x=-1$；$l_{2}$与$l_{3}$关于直线$y=\dfrac{4}{3}x$对称，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\ {y=\dfrac{4}{3}x}\end{array}\right.$，解得$l_{2}$与$l_{3}$的一个交点为$(-1,-\dfrac{4}{3})$，在$l_{2}$上取一点$(-1,0)$，
该点关于$y=\dfrac{4}{3}x$的对称点为$(x_{0}$，$y_{0})$，则$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{{y}_{0}}{2}=\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{{x}_{0}-1}{2}}\\ {\dfrac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}=-\dfrac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得对称点为$(\dfrac{7}{25}$，$-\dfrac{24}{25})$．
$\therefore$${k}_{{l}_{3}}=\dfrac{-\dfrac{24}{25}+\dfrac{4}{3}}{\dfrac{7}{25}+1}=\dfrac{7}{24}$，则$l_{3}:y=\dfrac{7}{24}(x+1)-\dfrac{4}{3}$，即$7x-24y-25=0$．
$\therefore$与圆$x^{2}+y^{2}=1$和$(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16$都相切的一条直线的方程为：
$x=-1$（填$3x+4y-5=0$，$7x-24y-25=0$都正确）．
故答案为：$x=-1$（填$3x+4y-5=0$，$7x-24y-25=0$都正确）．
点评：本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
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