2022年高考数学新高考Ⅰ-13

（5分）

$(1-\dfrac{y}{x})(x+y)^{8}$ 的展开式中

$x^{2}y^{6}$ 的系数为　　（用数字作答）．
分析：由题意依次求出

$(x+y)^{8}$ 中

$x^{2}y^{6}$ ，

$x^{3}y^{5}$ 项的系数，求和即可．
解：

$(x+y)^{8}$ 的通项公式为

$T_{r+1}=C_{8}^{r}x^{8-r}y^{r}$ ，
当

$r=6$ 时，

${T}_{7}={C}_{8}^{6}{x}^{2}{y}^{6}$ ，当

$r=5$ 时，

${T}_{6}={C}_{8}^{5}{x}^{3}{y}^{5}$ ，

$\therefore (1-\dfrac{y}{x})(x+y)^{8}$ 的展开式中

$x^{2}y^{6}$ 的系数为

${C}_{8}^{6}-{C}_{8}^{5}=\dfrac{8!}{6!\cdot 2!}-\dfrac{8!}{5!\cdot 3!}=28-56=-28$ ．
故答案为：

$-28$ ．
点评：本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．

相关知识

二项式定理

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