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2022年高考数学新高考Ⅰ-11<-->2022年高考数学新高考Ⅰ-13
（5分）已知函数$f(x)$及其导函数$f\prime (x)$的定义域均为$R$，记$g(x)=f\prime (x)$．若$f(\dfrac{3}{2}-2x)$，$g(2+x)$均为偶函数，则( )
A．$f(0)=0$ B．$g(-\dfrac{1}{2})=0$ C．$f(-1)=f$（4） D．$g(-1)=g$（2）
分析：由$f(\dfrac{3}{2}-2x)$为偶函数，可得$f(x)$关于$x=\dfrac{3}{2}$对称，可判断$C$；$g(2+x)$为偶函数，可得$g(2+x)=g(2-x)$，$g(x)$关于$x=2$对称，可判断$D$；由$g(\dfrac{3}{2})=0$，$g(x)$关于$x=2$对称，可得$g(\dfrac{5}{2})=0$，得到$x=\dfrac{5}{2}$是$f(x)$的极值点，$x=-\dfrac{1}{2}$也是极值点，从而判断$B$；$f(x)$图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断$A$．
解：$\because f(\dfrac{3}{2}-2x)$为偶函数，$\therefore$可得$f(\dfrac{3}{2}-2x)=f(\dfrac{3}{2}+2x)$，$\therefore f(x)$关于$x=\dfrac{3}{2}$对称，
令$x=\dfrac{5}{4}$，可得$f(\dfrac{3}{2}-2\times \dfrac{5}{4})=f(\dfrac{3}{2}+2\times \dfrac{5}{4})$，即$f(-1)=f$（4），故$C$正确；
$\because g(2+x)$为偶函数，$\therefore g(2+x)=g(2-x)$，$g(x)$关于$x=2$对称，故$D$不正确；
$\because f(x)$关于$x=\dfrac{3}{2}$对称，$\therefore x=\dfrac{3}{2}$是函数$f(x)$的一个极值点，
$\therefore$函数$f(x)$在$(\dfrac{3}{2}$，$t)$处的导数为0，即$g(\dfrac{3}{2})=f\prime (\dfrac{3}{2})=0$，
又$\therefore g(x)$的图象关于$x=2$对称，$\therefore g(\dfrac{5}{2})=g(\dfrac{3}{2})=0$，$\therefore$函数$f(x)$在$(\dfrac{5}{2}$，$t)$的导数为0，
$\therefore x=\dfrac{5}{2}$是函数$f(x)$的极值点，又$f(x)$的图象关于$x=\dfrac{3}{2}$对称，$\therefore (\dfrac{5}{2}$，$t)$关于$x=\dfrac{3}{2}$的对称点为$(\dfrac{1}{2}$，$t)$，
由$x=\dfrac{5}{2}$是函数$f(x)$的极值点可得$x=\dfrac{1}{2}$是函数$f(x)$的一个极值点，$\therefore g(\dfrac{1}{2})=f\prime (\dfrac{1}{2})=0$，
进而可得$g(\dfrac{1}{2})=g(\dfrac{7}{2})=0$，故$x=\dfrac{7}{2}$是函数$f(x)$的极值点，又$f(x)$的图象关于$x=\dfrac{3}{2}$对称，
$\therefore (\dfrac{7}{2}$，$t)$关于$x=\dfrac{3}{2}$的对称点为$(-\dfrac{1}{2}$，$t)$，$\therefore g(-\dfrac{1}{2})=f\prime (-\dfrac{1}{2})=0$，故$B$正确；
$f(x)$图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值是确定值，故$A$错误．
解法二：构造函数法，
令$f(x)=1-\sin \pi x$，则$f(\dfrac{3}{2}-2x)=1+\cos 2\pi x$，则$g(x)=f\prime (x)=-\pi \cos \pi x$，
$g(x+2)=-\pi \cos (2\pi +\pi x)=-\pi \cos \pi x$，
满足题设条件，可得只有选项$BC$正确，
故选：$BC$．
点评：本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
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