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2022年高考数学新高考Ⅰ-12

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（5分）已知函数

$f(x)$ 及其导函数

$f\prime (x)$ 的定义域均为

$R$ ，记

$g(x)=f\prime (x)$ ．若

$f(\dfrac{3}{2}-2x)$ ，

$g(2+x)$ 均为偶函数，则(　　)
A．

$f(0)=0$ B．

$g(-\dfrac{1}{2})=0$ C．

$f(-1)=f$ （4） D．

$g(-1)=g$ （2）
分析：由

$f(\dfrac{3}{2}-2x)$ 为偶函数，可得

$f(x)$ 关于

$x=\dfrac{3}{2}$ 对称，可判断

$C$ ；

$g(2+x)$ 为偶函数，可得

$g(2+x)=g(2-x)$ ，

$g(x)$ 关于

$x=2$ 对称，可判断

$D$ ；由

$g(\dfrac{3}{2})=0$ ，

$g(x)$ 关于

$x=2$ 对称，可得

$g(\dfrac{5}{2})=0$ ，得到

$x=\dfrac{5}{2}$ 是

$f(x)$ 的极值点，

$x=-\dfrac{1}{2}$ 也是极值点，从而判断

$B$ ；

$f(x)$ 图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断

$A$ ．
解：

$\because f(\dfrac{3}{2}-2x)$ 为偶函数，

$\therefore$ 可得

$f(\dfrac{3}{2}-2x)=f(\dfrac{3}{2}+2x)$ ，

$\therefore f(x)$ 关于

$x=\dfrac{3}{2}$ 对称，
令

$x=\dfrac{5}{4}$ ，可得

$f(\dfrac{3}{2}-2\times \dfrac{5}{4})=f(\dfrac{3}{2}+2\times \dfrac{5}{4})$ ，即

$f(-1)=f$ （4），故

$C$ 正确；

$\because g(2+x)$ 为偶函数，

$\therefore g(2+x)=g(2-x)$ ，

$g(x)$ 关于

$x=2$ 对称，故

$D$ 不正确；

$\because f(x)$ 关于

$x=\dfrac{3}{2}$ 对称，

$\therefore x=\dfrac{3}{2}$ 是函数

$f(x)$ 的一个极值点，

$\therefore$ 函数

$f(x)$ 在

$(\dfrac{3}{2}$ ，

$t)$ 处的导数为0，即

$g(\dfrac{3}{2})=f\prime (\dfrac{3}{2})=0$ ，
又

$\therefore g(x)$ 的图象关于

$x=2$ 对称，

$\therefore g(\dfrac{5}{2})=g(\dfrac{3}{2})=0$ ，

$\therefore$ 函数

$f(x)$ 在

$(\dfrac{5}{2}$ ，

$t)$ 的导数为0，

$\therefore x=\dfrac{5}{2}$ 是函数

$f(x)$ 的极值点，又

$f(x)$ 的图象关于

$x=\dfrac{3}{2}$ 对称，

$\therefore (\dfrac{5}{2}$ ，

$t)$ 关于

$x=\dfrac{3}{2}$ 的对称点为

$(\dfrac{1}{2}$ ，

$t)$ ，
由

$x=\dfrac{5}{2}$ 是函数

$f(x)$ 的极值点可得

$x=\dfrac{1}{2}$ 是函数

$f(x)$ 的一个极值点，

$\therefore g(\dfrac{1}{2})=f\prime (\dfrac{1}{2})=0$ ，
进而可得

$g(\dfrac{1}{2})=g(\dfrac{7}{2})=0$ ，故

$x=\dfrac{7}{2}$ 是函数

$f(x)$ 的极值点，又

$f(x)$ 的图象关于

$x=\dfrac{3}{2}$ 对称，

$\therefore (\dfrac{7}{2}$ ，

$t)$ 关于

$x=\dfrac{3}{2}$ 的对称点为

$(-\dfrac{1}{2}$ ，

$t)$ ，

$\therefore g(-\dfrac{1}{2})=f\prime (-\dfrac{1}{2})=0$ ，故

$B$ 正确；

$f(x)$ 图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值是确定值，故

$A$ 错误．
解法二：构造函数法，
令

$f(x)=1-\sin \pi x$ ，则

$f(\dfrac{3}{2}-2x)=1+\cos 2\pi x$ ，则

$g(x)=f\prime (x)=-\pi \cos \pi x$ ，

$g(x+2)=-\pi \cos (2\pi +\pi x)=-\pi \cos \pi x$ ，
满足题设条件，可得只有选项

$BC$ 正确，
故选：

$BC$ ．
点评：本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．

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