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2022年高考数学新高考Ⅰ-11

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（5分）已知

$O$ 为坐标原点，点

$A(1,1)$ 在抛物线

$C:x^{2}=2py(p > 0)$ 上，过点

$B(0,-1)$ 的直线交

$C$ 于

$P$ ，

$Q$ 两点，则(　　)
A．

$C$ 的准线为

$y=-1$ B．直线

$AB$ 与

$C$ 相切
C．

$\vert OP\vert \cdot \vert OQ\vert > \vert OA\vert ^{2}$ D．

$\vert BP\vert \cdot \vert BQ\vert > \vert BA\vert ^{2}$
分析：对于

$A$ ，根据题意求得

$p$ 的值，进而得到准线；对于

$B$ ，求出直线

$AB$ 方程，联立直线

$AB$ 与抛物线方程即可得出结论；对于

$C$ ，设过点

$B$ 的直线方程为

$y=kx-1(k > 2)$ ，联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两根之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项

$CD$ ．
解：

$\because$ 点

$A(1,1)$ 在抛物线

$C:x^{2}=2py(p > 0)$ 上，

$\therefore 2p=1$ ，解得

$p=\dfrac{1}{2}$ ，

$\therefore$ 抛物线

$C$ 的方程为

$x^{2}=y$ ，准线方程为

$y=-\dfrac{1}{4}$ ，选项

$A$ 错误；
由于

$A(1,1)$ ，

$B(0,-1)$ ，则

${k}_{AB}=\dfrac{1-(-1)}{1-0}=2$ ，直线

$AB$ 的方程为

$y=2x-1$ ，
联立

$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\ {{x}^{2}=y}\end{array}\right.$ ，可得

$x^{2}-2x+1=0$ ，解得

$x=1$ ，故直线

$AB$ 与抛物线

$C$ 相切，选项

$B$ 正确；
根据对称性及选项

$B$ 的分析，不妨设过点

$B$ 的直线方程为

$y=kx-1(k > 2)$ ，与抛物线在第一象限交于

$P(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$Q(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，
联立

$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\ {y={x}^{2}}\end{array}\right.$ ，消去

$y$ 并整理可得

$x^{2}-kx+1=0$ ，则

$x_{1}+x_{2}=k$ ，

$x_{1}x_{2}=1$ ，

${y}_{1}{y}_{2}=(k{x}_{1}-1)(k{x}_{2}-1)={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-k({x}_{1}+{x}_{2})+1=1$ ，

$\vert OP\vert \cdot \vert OQ\vert =\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}\geqslant \sqrt{2{x}_{1}{y}_{1}}\cdot \sqrt{2{x}_{2}{y}_{2}}=2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}{y}_{1}{y}_{2}}=2=\vert OA{\vert }^{2}$ ，由于等号在

$x_{1}=x_{2}=y_{1}=y_{2}=1$ 时才能取到，故等号不成立，选项

$C$ 正确；

$\vert BP\vert \vert BQ\vert =\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+({y}_{1}+1)^{2}}\cdot \sqrt{{{x}_{2}}^{2}+({y}_{2}+1)^{2}} > \sqrt{{{x}_{1}}^{2}+4{y}_{1}}\cdot \sqrt{{x}_{2}^{2}+4{y}_{2}}=\sqrt{5{{x}_{1}}^{2}}\cdot \sqrt{5{{x}_{2}}^{2}}=5\sqrt{{(x}_{1}{x}_{2})^{2}}=5=\vert BA{\vert }^{2}$ ，选项

$D$ 正确．
故选：

$BCD$ ．
点评：本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．

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