2020年高考数学江苏18<-->2020年高考数学江苏20
已知关于的函数，与（，）在区间上恒有。
（1）若，，，求的表达式。
（2）若，，，，求的取值范围。
（3）若，，（），，求证：。
（1）由得，
又因为，，
所以，
所以函数的图象为过原点，斜率为的直线，
所以。
经检验，符合题意。
（2），
设，则，
令，解得。
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以当时，。
由得，
当时，在区间上单调递增，
当时，一元二次方程的判别式小于等于，
即，
整理得，
解得。
综上所述，。
（3）因为，
所以函数的图象在处的切线方程为：
，
对比其与函数的形式可以发现，函数实际上是曲线在点处的切线方程，
因为，
所以当时，；当时，，
所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，
注意到，，
所以可以作出函数在上的图象，如下图所示，
因为当时，，
所以当时，函数的图象要始终位于其在点处的切线的上方，
根据图象可知，为了使得区间的长度尽可能的大，应当满足（如图中、所示），
此时区间最大，。
下面去求解使得恒成立的的取值范围，
注意到函数为二次函数（图象为开口向上的抛物线），函数为一次函数（图象为直线），
根据二次函数和一次函数的图象的性质可得，只需要求解的两个根、，即可找到使得恒成立的的取值范围，
令，得到，
所以，，
所以
令，，
则，
所以当时，，
所以在上单调递减，
所以满足恒成立的区间的长度的最大值为，
所以若在区间上使恒成立，则区间的最大长度为，
本题主要考查导数在研究函数中的应用和导数的计算。
（1）首先求出当时，，再利用导数求出，即可求出函数的图象为过原点，斜率为的直线，即。
（2）因为，设，求出，由求出。因为，结合一元二次方程的对称轴和判别式，分和进行讨论，即可求出。
（3）首先对函数求导，求出其在点处的切线方程，可以发现为曲线在点处的切线方程。判断出函数的单调性，作出函数的草图，根据图象找到使得不等式成立并且可以使得区间最大的的取值范围。接下来去寻找使得成立的最大区间。注意到函数为开口向上的抛物线，函数为直线，所以只需要求解的两个根、，即可找到符合题意的最大区间，其中。利用建立一元二次方程，求出的表达式，并求出其最大值，即可求出区间长度的最大值，即可证明出题干的命题。
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