2020年高考数学江苏16<-->2020年高考数学江苏18
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与MN平行，为铅垂线（在上），经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式，右侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式。已知点到的距离为米。
（1）求桥的长度。
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中，在上（不包括端点）。桥墩每米造价（万元），桥墩每米造价（万元）（），问为多少米时，桥墩与的总造价最低？
（1）由题可得，即，
因为点到的距离与点到的距离满足，
所以（米），
所以点到的距离为米，
令，则可得点到的距离满足：，解得（米），
所以（米）。
（2）设，则，，
则点到的距离为，
令，则此时，
则，
则的造价为：，
因为，则点到的距离为，
设与的造价和为，
则
，。
所以，
令，解得，令解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极小值，也是最小值，
综上所述，当为米时，和的总造价最低。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）设，分别到的距离为和，利用题中已知两个关系式，分别求出和即可求解的长度。
（2）设的长度为，并用表示，利用与的值求出和，从而求出和的表达式，然后列出和的造价，加和，求导，求最值，即可求出答案。
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