2021年高考数学新高考Ⅰ-7

（5分）若过点

$(a,b)$ 可以作曲线

$y=e^{x}$ 的两条切线，则(　　)
A．

$e^{b}<a$
B．

$e^{a}<b$
C．

$0<a<e^{b}$
D．

$0<b<e^{a}$
分析：画出函数的图象，判断

$(a,b)$ 与函数的图象的位置关系，即可得到选项．
解：函数

$y=e^{x}$ 是增函数，

$y\prime =e^{x}>0$ 恒成立，

函数的图象如图，

$y>0$ ，即取得坐标在

$x$ 轴上方，
如果

$(a,b)$ 在

$x$ 轴下方，连线的斜率小于0，不成立．
点

$(a,b)$ 在

$x$ 轴或下方时，只有一条切线．
如果

$(a,b)$ 在曲线上，只有一条切线；

$(a,b)$ 在曲线上侧，没有切线；
由图象可知

$(a,b)$ 在图象的下方，并且在

$x$ 轴上方时，有两条切线，可知

$0<b<e^{a}$ ．
故选：D．

点评：本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．

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