2020年高考数学天津19<-->返回列表
已知函数（），为的导函数。
（1）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程。
（ii）求函数的单调区间和极值。
（2）当时，求证：对任意的，，且，有。
（1）（i）当时，，
所以，
所以，。
所以曲线在点处的切线方程为，即。
（ii）由题意可得，（），
所以
，
令，得；
令，得，
所以当时，函数有极小值，
综上所述，函数的单调递增区间为，单调递减区间为。函数的极小值为，无极大值。
（2）证明：因为，
所以。
令，
因为，，且，
①。
令，，
当时，，
所以函数在上单调递增，
所以当时，有，
即，
因为，，，
②，
由（1）（ii）可知，当时，，
即 ③，
结合①②③可知：，
所以当时，对任意的，，且，有。
本题主要考查导数在研究函数中的应用和函数综合。
（1）（i）把代入函数解析式，求导，写出切线方程即可。
（ii）根据（i）写出函数（），求导判断单调性和极值即可。
（2）欲证不等式，即证，所以把及其导函数代入并化简，再利用（i）（ii）中的结论即可得证。
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