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2021年高考数学新高考Ⅰ-14<-->2021年高考数学新高考Ⅰ-16
（5分）函数$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x$的最小值为____．
分析：求出函数定义域，对$x$分段去绝对值，当$0<x\leqslant \dfrac{1}{2}$时，直接利用单调性求最值；当$x>\dfrac{1}{2}$时，利用导数求最值，进一步得到$f(x)$的最小值．
解：函数$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x$的定义域为$(0,+\infty )$．
当$0<x\leqslant \dfrac{1}{2}$时，$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x=-2x+1-2\ln x$，
此时函数$f(x)$在$(0$，$\dfrac{1}{2}]$上为减函数，
所以$f(x)\geqslant f(\dfrac{1}{2})=-2\times \dfrac{1}{2}+1-2\ln \dfrac{1}{2}=2\ln 2$；
当$x>\dfrac{1}{2}$时，$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x=2x-1-2\ln x$，
则$f\prime (x)=2-\dfrac{2}{x}=\dfrac{2(x-1)}{x}$，
当$x\in (\dfrac{1}{2}$，$1)$时，$f\prime (x)<0$，$f(x)$单调递减，
当$x\in (1,+\infty )$时，$f\prime (x)>0$，$f(x)$单调递增，
$\therefore$当$x=1$时$f(x)$取得最小值为$f$（1）$=2\times 1-1-2\ln 1=1$．
$\because 2\ln 2=\ln 4>\ln e=1$，
$\therefore$函数$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x$的最小值为1．
故答案为：1．
点评：本题考查函数的最值及其几何意义，利用导数求最值的应用，考查运算求解能力，是中档题．
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