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2021年高考数学新高考Ⅰ-15<-->2021年高考数学新高考Ⅰ-17
（5分）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为$20dm\times 12dm$的长方形纸，对折1次共可以得到$10dm\times 12dm$，$20dm\times 6dm$两种规格的图形，它们的面积之和$S_{1}=240dm^{2}$，对折2次共可以得到$5dm\times 12dm$，$10dm\times 6dm$，$20dm\times 3dm$三种规格的图形，它们的面积之和$S_{2}=180dm^{2}$，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为____；如果对折$n$次，那么$\sum\limits_{k=1}^{n}S_{k}=$____$dm^{2}$．
分析：依题意，对折$k$次共有$k+1$种规格，且面积为$\dfrac{240}{{2}^{k}}$，则${S}_{k}=\dfrac{240(k+1)}{{2}^{k}}$，$\sum\limits_{k=1}^{n}{S}_{k}=240\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k+1}{{2}^{k}}$，然后再转化求解即可．
解：易知有$20dm\times \dfrac{3}{4}dm,10dm\times \dfrac{3}{2}dm,5dm\times 3dm,\dfrac{5}{2}dm\times 6dm$，$\dfrac{5}{4}dm\times 12dm$，共5种规格；
由题可知，对折$k$次共有$k+1$种规格，且面积为$\dfrac{240}{{2}^{k}}$，故${S}_{k}=\dfrac{240(k+1)}{{2}^{k}}$，
则$\sum\limits_{k=1}^{n}{S}_{k}=240\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k+1}{{2}^{k}}$，记${T}_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k+1}{{2}^{k}}$，则$\dfrac{1}{2}{T}_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k+1}{{2}^{k+1}}$，
$\therefore$$\dfrac{1}{2}{T}_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k+1}{{2}^{k}}-\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k+1}{{2}^{k+1}}=1+(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{k+2}{{2}^{k+1}}-\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k+2}{{2}^{k+1}})-\dfrac{n+1}{{2}^{n+1}}=1+\dfrac{\dfrac{1}{4}(1-\dfrac{1}{{2}^{n-1}})}{1-\dfrac{1}{2}}-\dfrac{n+1}{{2}^{n+1}}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
$\therefore$${T}_{n}=3-\dfrac{n+3}{{2}^{n}}$，
$\therefore$$\sum\limits_{k=1}^{n}{S}_{k}=240(3-\dfrac{n+3}{{2}^{n}})$．
故答案为：5；$240(3-\dfrac{n+3}{{2}^{n}})$．
点评：本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于中档题．
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