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2021年高考数学新高考Ⅰ-16

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（5分）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为

$20dm\times 12dm$ 的长方形纸，对折1次共可以得到

$10dm\times 12dm$ ，

$20dm\times 6dm$ 两种规格的图形，它们的面积之和

$S_{1}=240dm^{2}$ ，对折2次共可以得到

$5dm\times 12dm$ ，

$10dm\times 6dm$ ，

$20dm\times 3dm$ 三种规格的图形，它们的面积之和

$S_{2}=180dm^{2}$ ，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为____；如果对折

$n$ 次，那么

$\sum\limits_{k=1}^{n}S_{k}=$ ____

$dm^{2}$ ．
分析：依题意，对折

$k$ 次共有

$k+1$ 种规格，且面积为

$\dfrac{240}{{2}^{k}}$ ，则

${S}_{k}=\dfrac{240(k+1)}{{2}^{k}}$ ，

$\sum\limits_{k=1}^{n}{S}_{k}=240\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k+1}{{2}^{k}}$ ，然后再转化求解即可．
解：易知有

$20dm\times \dfrac{3}{4}dm,10dm\times \dfrac{3}{2}dm,5dm\times 3dm,\dfrac{5}{2}dm\times 6dm$ ，

$\dfrac{5}{4}dm\times 12dm$ ，共5种规格；
由题可知，对折

$k$ 次共有

$k+1$ 种规格，且面积为

$\dfrac{240}{{2}^{k}}$ ，故

${S}_{k}=\dfrac{240(k+1)}{{2}^{k}}$ ，
则

$\sum\limits_{k=1}^{n}{S}_{k}=240\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k+1}{{2}^{k}}$ ，记

${T}_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k+1}{{2}^{k}}$ ，则

$\dfrac{1}{2}{T}_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k+1}{{2}^{k+1}}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{2}{T}_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k+1}{{2}^{k}}-\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k+1}{{2}^{k+1}}=1+(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{k+2}{{2}^{k+1}}-\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k+2}{{2}^{k+1}})-\dfrac{n+1}{{2}^{n+1}}=1+\dfrac{\dfrac{1}{4}(1-\dfrac{1}{{2}^{n-1}})}{1-\dfrac{1}{2}}-\dfrac{n+1}{{2}^{n+1}}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{n+3}{{2}^{n+1}}$ ，

$\therefore$

${T}_{n}=3-\dfrac{n+3}{{2}^{n}}$ ，

$\therefore$

$\sum\limits_{k=1}^{n}{S}_{k}=240(3-\dfrac{n+3}{{2}^{n}})$ ．
故答案为：5；

$240(3-\dfrac{n+3}{{2}^{n}})$ ．
点评：本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于中档题．

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