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2021年高考数学新高考Ⅰ-16<-->2021年高考数学新高考Ⅰ-18
（10分）已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，${{a}_{n+1}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{a}_{n}}+1,n, \\
{{a}_{n}}+2,n\cdot \\
\end{array} \right.$
（1）记$b_{n}=a_{2n}$，写出$b_{1}$，$b_{2}$，并求数列$\{b_{n}\}$的通项公式；
（2）求$\{a_{n}\}$的前20项和．
分析：（1）由数列$\{a_{n}\}$的通项公式可求得$a_{2}$，$a_{4}$，从而可得求得$b_{1}$，$b_{2}$，由$b_{n}-b_{n-1}=3$可得数列$\{b_{n}\}$是等差数列，从而可求得数列$\{b_{n}\}$的通项公式；
（2）由数列$\{a_{n}\}$的通项公式可得数列$\{a_{n}\}$的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可．
解：（1）因为$a_{1}=1$，${{a}_{n+1}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{a}_{n}}+1,n \\
{{a}_{n}}+2,n \\
\end{array} \right.$，
所以$a_{2}=a_{1}+1=2$，$a_{3}=a_{2}+2=4$，$a_{4}=a_{3}+1=5$，
所以$b_{1}=a_{2}=2$，$b_{2}=a_{4}=5$，
$b_{n}-b_{n-1}=a_{2n}-a_{2n-2}=a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-a_{2n-2}=1+2=3$，
所以数列$\{b_{n}\}$是以$b_{1}=2$为首项，以3为公差的等差数列，
所以$b_{n}=2+3(n-1)=3n-1$．
（2）由（1）可得$a_{2n}=3n-1$，$n\in N*$，
则$a_{2n-1}=a_{2n-2}+2=3(n-1)-1+2=3n-2$，$n\geqslant 2$，
当$n=1$时，$a_{1}=1$也适合上式，
所以$a_{2n-1}=3n-2$，$n\in N*$，
所以数列$\{a_{n}\}$的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则$\{a_{n}\}$的前20项和为$a_{1}+a_{2}+...+a_{20}=(a_{1}+a_{3}+\ldots +a_{19})+(a_{2}+a_{4}+\ldots +a_{20})=10+\dfrac{10\times 9}{2}\times 3+10\times 2+\dfrac{10\times 9}{2}\times 3=300$．
点评：本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
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