圆锥曲线 - 91学

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2023年高考数学新高考Ⅱ-10（5分）设

$O$ 为坐标原点，直线

$y=-\sqrt{3}(x-1)$ 过抛物线

$C:y^{2}=2px(p > 0)$ 的焦点，且与

$C$ 交于

$M$ ，

$N$ 两点，

$l$ 为

$C$ 的准线，则

$($ 　　

$)$
A．

$p=2$ B．

$\vert MN\vert =\dfrac{8}{3}$
C．以

$MN$ 为直径的圆与

$l$ 相切 D．

$\Delta OMN$ 为等腰三角形【答案详解】

2023年高考数学新高考Ⅱ-5（5分）已知椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$ 的左焦点和右焦点分别为

$F_{1}$ 和

$F_{2}$ ，直线

$y=x+m$ 与

$C$ 交于点

$A$ ，

$B$ 两点，若△

$F_{1}AB$ 面积是△

$F_{2}AB$ 面积的两倍，则

$m=($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{2}{3}$ B．

$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ C．

$-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ D．

$-\dfrac{2}{3}$ 【答案详解】

2023年高考数学新高考Ⅰ-22（12分）在直角坐标系

$xOy$ 中，点

$P$ 到

$x$ 轴的距离等于点

$P$ 到点

$(0,\dfrac{1}{2})$ 的距离，记动点

$P$ 的轨迹为

$W$ ．
（1）求

$W$ 的方程；
（2）已知矩形

$ABCD$ 有三个顶点在

$W$ 上，证明：矩形

$ABCD$ 的周长大于

$3\sqrt{3}$ ．【答案详解】

2023年高考数学新高考Ⅰ-16（5分）已知双曲线

$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$ 的左、右焦点分别为

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ ．点

$A$ 在

$C$ 上，点

$B$ 在

$y$ 轴上，

$\overrightarrow{{F_1}A}\bot \overrightarrow{{F_1}B}$ ，

$\overrightarrow{{F_2}A}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{{F_2}B}$ ，则

$C$ 的离心率为______．【答案详解】

2023年高考数学新高考Ⅰ-5（5分）设椭圆

$C_{1}:\dfrac{x^2}{a^2}+y^{2}=1(a > 1)$ ，

$C_{2}:\dfrac{x^2}{4}+y^{2}=1$ 的离心率分别为

$e_{1}$ ，

$e_{2}$ ．若

$e_{2}=\sqrt{3}e_{1}$ ，则

$a=($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ B．

$\sqrt{2}$ C．

$\sqrt{3}$ D．

$\sqrt{6}$ 【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-21（12分）已知双曲线

$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$ 的右焦点为

$F(2,0)$ ，渐近线方程为

$y=\pm \sqrt{3}x$ ．
（1）求

$C$ 的方程；
（2）过

$F$ 的直线与

$C$ 的两条渐近线分别交于

$A$ ，

$B$ 两点，点

$P(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$Q(x_{2}$ ，

$y_{2})$ 在

$C$ 上，且

$x_{1} > x_{2} > 0$ ，

$y_{1} > 0$ ．过

$P$ 且斜率为

$-\sqrt{3}$ 的直线与过

$Q$ 且斜率为

$\sqrt{3}$ 的直线交于点

$M$ ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①

$M$ 在

$AB$ 上；②

$PQ//AB$ ；③

$\vert MA\vert =\vert MB\vert$ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-16（5分）已知直线

$l$ 与椭圆

$\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 在第一象限交于

$A$ ，

$B$ 两点，

$l$ 与

$x$ 轴、

$y$ 轴分别相交于

$M$ ，

$N$ 两点，且

$\vert MA\vert =\vert NB\vert$ ，

$\vert MN\vert =2\sqrt{3}$ ，则

$l$ 的方程为____．【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-10（5分）已知

$O$ 为坐标原点，过抛物线

$C:y^{2}=2px(p > 0)$ 焦点

$F$ 的直线与

$C$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，其中

$A$ 在第一象限，点

$M(p,0)$ ．若

$\vert AF\vert =\vert AM\vert$ ，则(　　)
A．直线

$AB$ 的斜率为

$2\sqrt{6}$ B．

$\vert OB\vert =\vert OF\vert$
C．

$\vert AB\vert > 4\vert OF\vert$ D．

$\angle OAM+\angle OBM < 180^\circ$ 【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅰ-21（12分）已知点

$A(2,1)$ 在双曲线

$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{{a^2}-1}=1(a > 1)$ 上，直线

$l$ 交

$C$ 于

$P$ ，

$Q$ 两点，直线

$AP$ ，

$AQ$ 的斜率之和为0．
（1）求

$l$ 的斜率；
（2）若

$\tan \angle PAQ=2\sqrt{2}$ ，求

$\Delta PAQ$ 的面积．【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅰ-16（5分）已知椭圆

$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ ，

$C$ 的上顶点为

$A$ ，两个焦点为

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ ，离心率为

$\dfrac{1}{2}$ ．过

$F_{1}$ 且垂直于

$AF_{2}$ 的直线与

$C$ 交于

$D$ ，

$E$ 两点，

$\vert DE\vert =6$ ，则

$\Delta ADE$ 的周长是____【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅰ-11（5分）已知

$O$ 为坐标原点，点

$A(1,1)$ 在抛物线

$C:x^{2}=2py(p > 0)$ 上，过点

$B(0,-1)$ 的直线交

$C$ 于

$P$ ，

$Q$ 两点，则(　　)
A．

$C$ 的准线为

$y=-1$ B．直线

$AB$ 与

$C$ 相切
C．

$\vert OP\vert \cdot \vert OQ\vert > \vert OA\vert ^{2}$ D．

$\vert BP\vert \cdot \vert BQ\vert > \vert BA\vert ^{2}$ 【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅰ-21在平面直角坐标系

$xOy$ 中，已知点

$F_{1}(-\sqrt{17}$ ，

$0)$ ，

$F_{2}(\sqrt{17}$ ，

$0)$ ，点

$M$ 满足

$\vert MF_{1}\vert -\vert MF_{2}\vert =2$ ．记

$M$ 的轨迹为

$C$ ．
（1）求

$C$ 的方程；
（2）设点

$T$ 在直线

$x=\dfrac{1}{2}$ 上，过

$T$ 的两条直线分别交

$C$ 于

$A$ ，

$B$ 两点和

$P$ ，

$Q$ 两点，且

$\vert TA\vert \cdot \vert TB\vert =\vert TP\vert \cdot \vert TQ\vert$ ，求直线

$AB$ 的斜率与直线

$PQ$ 的斜率之和．【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅰ-14（5分）已知

$O$ 为坐标原点，抛物线

$C:y^{2}=2px(p>0)$ 的焦点为

$F$ ，

$P$ 为

$C$ 上一点，

$PF$ 与

$x$ 轴垂直，

$Q$ 为

$x$ 轴上一点，且

$PQ\bot OP$ ．若

$\vert FQ\vert =6$ ，则

$C$ 的准线方程为______．【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅰ-5（5分）已知

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ 是椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$ 的两个焦点，点

$M$ 在

$C$ 上，则

$\vert MF_{1}\vert \cdot \vert MF_{2}\vert$ 的最大值为(　　)
A．13
B．12
C．9
D．6【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅰ-5（5分）已知

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ 是椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$ 的两个焦点，点

$M$ 在

$C$ 上，则

$\vert MF_{1}\vert \cdot \vert MF_{2}\vert$ 的最大值为(　　)
A．13
B．12
C．9
D．6【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅰ-5（5分）已知

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ 是椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$ 的两个焦点，点

$M$ 在

$C$ 上，则

$\vert MF_{1}\vert \cdot \vert MF_{2}\vert$ 的最大值为(　　)
A．13
B．12
C．9
D．6【答案详解】

2020年高考数学新高考Ⅱ-21（12分）已知椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$ 过点

$M(2,3)$ ，点

$A$ 为其左顶点，且

$AM$ 的斜率为

$\dfrac{1}{2}$ ．
（1）求

$C$ 的方程；
（2）点

$N$ 为椭圆上任意一点，求

$\Delta AMN$ 的面积的最大值．【答案详解】

2020年高考数学新高考Ⅱ-14斜率为

$\sqrt{3}$ 的直线过抛物线

$C:y^{2}=4x$ 的焦点，且与

$C$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，则

$\vert AB\vert =$ 　____ 　．【答案详解】

2020年高考数学新高考Ⅱ-10已知曲线

$C:mx^{2}+ny^{2}=1$ ．(　　)
A．若

$m>n>0$ ，则

$C$ 是椭圆，其焦点在

$y$ 轴上
B．若

$m=n>0$ ，则

$C$ 是圆，其半径为

$\sqrt{n}$
C．若

$mn<0$ ，则

$C$ 是双曲线，其渐近线方程为

$y=\pm \sqrt{-\dfrac{m}{n}}x$
D．若

$m=0$ ，

$n>0$ ，则

$C$ 是两条直线【答案详解】

2020年高考数学全国卷Ⅲ--文21(2020全国Ⅲ卷计算题)已知椭圆：（）的离心率为，，分别在的左、右顶点。（1）求的方程。（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ卷）：文数第21题【答案】（1）因为，所以椭圆的焦点在轴上，由椭【答案详解】

2020年高考数学全国卷Ⅲ--文14(2020全国Ⅲ卷其他)设双曲线：（，）的一条渐近线为，则的离心率为_____。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ卷）：文数第14题【答案】【解析】本题主要考查圆锥曲线。因为双曲线的渐近线为，所以，即，由双曲线的性质，【答案详解】

2020年高考数学全国卷Ⅲ--文7(2020全国Ⅲ卷单选题)设为坐标原点，直线与抛物线：（）交于，两点，若，则的焦点坐标为（）。【A】【B】【C】【D】【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ卷）：文数第7题【题情】本题共被作答15390次，正确率为59.17%，易错【答案详解】

2020年高考数学全国卷Ⅱ--文19(2020全国Ⅱ卷计算题)已知椭圆：（）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于、两点，交于、两点，且。（1）求的离心率。（2）若的四个顶点到的准线距离之和为，求与的标准方程。【出处】2020年普通高等学校【答案详解】

2020年高考数学全国卷Ⅱ--文9(2020全国Ⅱ卷单选题)设为坐标原点，直线与双曲线：（，）的两条渐近线分别交于，两点，若的面积为，则的焦距的最小值为（）。【A】【B】【C】【D】【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）：文数第9题【题情】本题共被作【答案详解】

2020年高考数学全国卷Ⅰ--文21(2020全国Ⅰ卷计算题)已知，分别为椭圆：（）的左、右顶点，为的上顶点，。为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为。（1）求的方程。（2）证明：直线过定点。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）：文数第21题【答案】【答案详解】

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