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2022年高考数学新高考Ⅱ-9<-->2022年高考数学新高考Ⅱ-11
（5分）已知$O$为坐标原点，过抛物线$C:y^{2}=2px(p > 0)$焦点$F$的直线与$C$交于$A$，$B$两点，其中$A$在第一象限，点$M(p,0)$．若$\vert AF\vert =\vert AM\vert$，则( )
A．直线$AB$的斜率为$2\sqrt{6}$ B．$\vert OB\vert =\vert OF\vert$
C．$\vert AB\vert > 4\vert OF\vert$ D．$\angle OAM+\angle OBM < 180^\circ$
分析：由已知可得$A$的坐标，再由抛物线焦点弦的性质求得$B$点坐标，然后逐一分析四个选项得答案．
解：如图，
$\because F(\dfrac{p}{2}$，$0)$，$M(p,0)$，且$\vert AF\vert =\vert AM\vert$，$\therefore A(\dfrac{3p}{4}$，$\dfrac{\sqrt{6}p}{2})$，
由抛物线焦点弦的性质可得${x}_{A}\cdot {x}_{B}=\dfrac{{p}^{2}}{4}$，则${x}_{B}=\dfrac{p}{3}$，则$B(\dfrac{p}{3}$，$-\dfrac{\sqrt{6}p}{3})$，
$\therefore$${k}_{AB}={k}_{AF}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{6}p}{2}-0}{\dfrac{3p}{4}-\dfrac{p}{2}}=2\sqrt{6}$，故$A$正确；
$\vert OB\vert =\sqrt{\dfrac{{p}^{2}}{9}+\dfrac{6{p}^{2}}{9}}=\dfrac{\sqrt{7}p}{3}$，$\vert OF\vert =\dfrac{p}{2}$，$\vert OB\vert \ne \vert OF\vert$，故$B$错误；
$\vert AB\vert =\dfrac{3p}{4}+\dfrac{p}{3}+p=\dfrac{25p}{12} > 2p=4\vert OF\vert$，故$C$正确；
$\vert OA{\vert }^{2}=\dfrac{33{p}^{2}}{16}$，$\vert OB{\vert }^{2}=\dfrac{7{p}^{2}}{9}$，$\vert AM{\vert }^{2}=\dfrac{25{p}^{2}}{16}$，$\vert BM{\vert }^{2}=\dfrac{10{p}^{2}}{9}$，$\vert OM\vert =p$，
$\because \vert OA\vert ^{2}+\vert AM\vert ^{2} > \vert OM\vert ^{2}$，$\vert OB\vert ^{2}+\vert BM\vert ^{2} > \vert OM\vert ^{2}$，
$\therefore \angle OAM$，$\angle OBM$均为锐角，可得$\angle OAM+\angle OBM < 180^\circ$，故$D$正确．
故选：$ACD$．
点评：本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
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