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2022年高考数学新高考Ⅱ-11

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（5分）如图，四边形

$ABCD$ 为正方形，

$ED\bot$ 平面

$ABCD$ ，

$FB//ED$ ，

$AB=ED=2FB$ ．记三棱锥

$E-ACD$ ，

$F-ABC$ ，

$F-ACE$ 的体积分别为

$V_{1}$ ，

$V_{2}$ ，

$V_{3}$ ，则(　　)

A．

$V_{3}=2V_{2}$ B．

$V_{3}=V_{1}$ C．

$V_{3}=V_{1}+V_{2}$ D．

$2V_{3}=3V_{1}$
分析：利用直接法与等体积法直接计算各三棱锥的体积，进而可得

$V_{1}$ 、

$V_{2}$ 、

$V_{3}$ 之间的关系．
解：设

$AB=ED=2FB=2$ ，

$V_{1}=\dfrac{1}{3}\times S_{\Delta ACD}\times \vert ED\vert =\dfrac{4}{3}$ ，

$V_{2}=\dfrac{1}{3}\times S_{\Delta ABC}\times \vert FB\vert =\dfrac{2}{3}$ ，
如图所示，

连接

$BD$ 交

$AC$ 于点

$M$ ，连接

$EM$ 、

$FM$ ，
则

$FM=\sqrt{3}$ ，

$EM=\sqrt{6}$ ，

$EF=3$ ，
故

$S_{\Delta EMF}=\dfrac{1}{2}\times \sqrt{3}\times \sqrt{6}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ，

$V_{3}=\dfrac{1}{3}S_{\Delta EMF}\times AC=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\times 2\sqrt{2}=2$ ，
故

$C$ 、

$D$ 正确，

$A$ 、

$B$ 错误．
故选：

$CD$ ．
点评：本题主要考查组合体的体积，熟练掌握棱锥的体积公式是解决本题的关键．

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