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2022年高考数学新高考Ⅱ-12

12.(5分)若xy满足x2+y2xy=1,则(  )
A.x+y1              B.x+y2              C.x2+y22              D.x2+y21
分析:方法一:原等式可化为,(xy2)2+(32y)2=1,进行三角代换,令{xy2=cosθ32y=sinθ,则{x=33sinθ+cosθy=233sinθ,结合三角函数的性质分别求出x+yx2+y2的取值范围即可.
方法二:由x2+y2xy=1可得,(x+y)2=1+3xy1+3(x+y2)2x2+y21=xyx2+y22,分别求出x+yx2+y2的取值范围即可.
解:方法一:由x2+y2xy=1可得,(xy2)2+(32y)2=1
{xy2=cosθ32y=sinθ,则{x=33sinθ+cosθy=233sinθ
2],故A错,B对,
\because x^{2}+y^{2}=(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sin \theta +\cos \theta )^{2}+(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin \theta )^{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sin 2\theta -\dfrac{1}{3}\cos 2\theta +\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}\sin (2\theta -\dfrac{\pi }{6})+\dfrac{4}{3}\in [\dfrac{2}{3}2]
C对,D错,
方法二:对于AB,由x^{2}+y^{2}-xy=1可得,(x+y)^{2}=1+3xy\leqslant 1+3(\dfrac{x+y}{2})^{2},即\dfrac{1}{4}(x+y)^{2}\leqslant 1
\therefore (x+y)^{2}\leqslant 4\therefore -2\leqslant x+y\leqslant 2,故A错,B对,
对于CD,由x^{2}+y^{2}-xy=1得,x^{2}+y^{2}-1=xy\leqslant \dfrac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}
\therefore x^{2}+y^{2}\leqslant 2,故C对;
\because -xy\leqslant \dfrac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}\therefore 1=x^{2}+y^{2}-xy\leqslant x^{2}+y^{2}+\dfrac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}=\dfrac{3({x}^{2}+{y}^{2})}{2}
\therefore{x}^{2}+{y}^{2}\geqslant \dfrac{2}{3},故D错误.
故选:BC
点评:本题主要考查了三角代换求最值,考查了三角函数的性质,同时考查了学生分析问题,转化问题的能力,属于中档题.
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