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2022年高考数学新高考Ⅱ-12

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12．（5分）若

$x$ ，

$y$ 满足

$x^{2}+y^{2}-xy=1$ ，则

$($ 　　

$)$
A．

$x+y\leqslant 1$ B．

$x+y\geqslant -2$ C．

$x^{2}+y^{2}\leqslant 2$ D．

$x^{2}+y^{2}\geqslant 1$
分析：方法一：原等式可化为，

$(x-\dfrac{y}{2})^{2}+(\dfrac{\sqrt{3}}{2}y)^{2}=1$ ，进行三角代换，令

$\left\{\begin{array}{l}{x-\dfrac{y}{2}=\cos \theta }\\ {\dfrac{\sqrt{3}}{2}y=\sin \theta }\end{array}\right.$ ，则

$\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sin \theta +\cos \theta }\\ {y=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin \theta }\end{array}\right.$ ，结合三角函数的性质分别求出

$x+y$ 与

$x^{2}+y^{2}$ 的取值范围即可．
方法二：由

$x^{2}+y^{2}-xy=1$ 可得，

$(x+y)^{2}=1+3xy\leqslant 1+3(\dfrac{x+y}{2})^{2}$ ，

$x^{2}+y^{2}-1=xy\leqslant \dfrac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$ ，分别求出

$x+y$ 与

$x^{2}+y^{2}$ 的取值范围即可．
解：方法一：由

$x^{2}+y^{2}-xy=1$ 可得，

$(x-\dfrac{y}{2})^{2}+(\dfrac{\sqrt{3}}{2}y)^{2}=1$ ，
令

$\left\{\begin{array}{l}{x-\dfrac{y}{2}=\cos \theta }\\ {\dfrac{\sqrt{3}}{2}y=\sin \theta }\end{array}\right.$ ，则

$\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sin \theta +\cos \theta }\\ {y=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin \theta }\end{array}\right.$ ，

$\therefore x+y=\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta =2\sin (\theta +\dfrac{\pi }{6})\in [-2$ ，

$2]$ ，故

$A$ 错，

$B$ 对，

$\because x^{2}+y^{2}=(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sin \theta +\cos \theta )^{2}+(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin \theta )^{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sin 2\theta -\dfrac{1}{3}\cos 2\theta +\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}\sin (2\theta -\dfrac{\pi }{6})+\dfrac{4}{3}\in [\dfrac{2}{3}$ ，

$2]$ ，
故

$C$ 对，

$D$ 错，
方法二：对于

$A$ ，

$B$ ，由

$x^{2}+y^{2}-xy=1$ 可得，

$(x+y)^{2}=1+3xy\leqslant 1+3(\dfrac{x+y}{2})^{2}$ ，即

$\dfrac{1}{4}(x+y)^{2}\leqslant 1$ ，

$\therefore (x+y)^{2}\leqslant 4$ ，

$\therefore -2\leqslant x+y\leqslant 2$ ，故

$A$ 错，

$B$ 对，
对于