2022年高考数学新高考Ⅱ-11<-->2022年高考数学新高考Ⅱ-13
12.(5分)若x,y满足x2+y2−xy=1,则( ) A.x+y⩽1 B.x+y⩾−2 C.x2+y2⩽2 D.x2+y2⩾1 分析:方法一:原等式可化为,(x−y2)2+(√32y)2=1,进行三角代换,令{x−y2=cosθ√32y=sinθ,则{x=√33sinθ+cosθy=2√33sinθ,结合三角函数的性质分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可. 方法二:由x2+y2−xy=1可得,(x+y)2=1+3xy⩽1+3(x+y2)2,x2+y2−1=xy⩽x2+y22,分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可. 解:方法一:由x2+y2−xy=1可得,(x−y2)2+(√32y)2=1, 令{x−y2=cosθ√32y=sinθ,则{x=√33sinθ+cosθy=2√33sinθ, ∴,2],故A错,B对, \because x^{2}+y^{2}=(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sin \theta +\cos \theta )^{2}+(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin \theta )^{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sin 2\theta -\dfrac{1}{3}\cos 2\theta +\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}\sin (2\theta -\dfrac{\pi }{6})+\dfrac{4}{3}\in [\dfrac{2}{3},2], 故C对,D错, 方法二:对于A,B,由x^{2}+y^{2}-xy=1可得,(x+y)^{2}=1+3xy\leqslant 1+3(\dfrac{x+y}{2})^{2},即\dfrac{1}{4}(x+y)^{2}\leqslant 1, \therefore (x+y)^{2}\leqslant 4,\therefore -2\leqslant x+y\leqslant 2,故A错,B对, 对于C,D,由x^{2}+y^{2}-xy=1得,x^{2}+y^{2}-1=xy\leqslant \dfrac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}, \therefore x^{2}+y^{2}\leqslant 2,故C对; \because -xy\leqslant \dfrac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2},\therefore 1=x^{2}+y^{2}-xy\leqslant x^{2}+y^{2}+\dfrac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}=\dfrac{3({x}^{2}+{y}^{2})}{2}, \therefore{x}^{2}+{y}^{2}\geqslant \dfrac{2}{3},故D错误. 故选:BC. 点评:本题主要考查了三角代换求最值,考查了三角函数的性质,同时考查了学生分析问题,转化问题的能力,属于中档题.
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