首页 > 数学 > 高考题 > 2023 > 2023年新高考2

2023年高考数学新高考Ⅱ-10

2023年高考数学新高考Ⅱ-9<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-11

（5分）设

$O$ 为坐标原点，直线

$y=-\sqrt{3}(x-1)$ 过抛物线

$C:y^{2}=2px(p > 0)$ 的焦点，且与

$C$ 交于

$M$ ，

$N$ 两点，

$l$ 为

$C$ 的准线，则

$($ 　　

$)$
A．

$p=2$ B．

$\vert MN\vert =\dfrac{8}{3}$
C．以

$MN$ 为直径的圆与

$l$ 相切 D．

$\Delta OMN$ 为等腰三角形
答案：

$AC$
分析：求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系判断选项的正误即可．
解：直线

$y=-\sqrt{3}(x-1)$ 过抛物线

$C:y^{2}=2px(p > 0)$ 的焦点，可得

$\dfrac{p}{2}=1$ ，所以

$p=2$ ，
所以

$A$ 正确；
抛物线方程为：

$y^{2}=4x$ ，与

$C$ 交于

$M$ ，

$N$ 两点，
直线方程代入抛物线方程可得：

$3x^{2}-10x+3=0$ ，

$x_{M}+x_{N}=\dfrac{10}{3}$ ，
所以

$\vert MN\vert =x_{M}+x_{N}+p=\dfrac{16}{3}$ ，所以

$B$ 不正确；

$M$ ，

$N$ 的中点的横坐标：

$\dfrac{5}{3}$ ，中点到抛物线的准线的距离为：

$1+\dfrac{5}{3}=\dfrac{8}{3}$ ，
所以以

$MN$ 为直径的圆与

$l$ 相切，所以

$C$ 正确；

$3x^{2}-10x+3=0$ ，
不妨可得

$x_{M}=3$ ，

$x_{N}=\dfrac{1}{3}$ ，

$y_{M}=-2\sqrt{3}$ ，

$y_{N}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ ，

$\vert OM\vert =\sqrt{9+12}=\sqrt{21}$ ，

$\vert ON\vert =\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{12}{9}}=\dfrac{\sqrt{13}}{3}$ ，

$\vert MN\vert =\dfrac{16}{3}$ ，
所以

$\Delta OMN$ 不是等腰三角形，所以

$D$ 不正确．
故选：

$AC$ ．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．

2023年高考数学新高考Ⅱ-9<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-11

全网搜索"2023年高考数学新高考Ⅱ-10"相关

相关知识

学习笔记（共有 0 条）