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2023年高考数学新高考Ⅱ-9<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-11
（5分）设$O$为坐标原点，直线$y=-\sqrt{3}(x-1)$过抛物线$C:y^{2}=2px(p > 0)$的焦点，且与$C$交于$M$，$N$两点，$l$为$C$的准线，则$($ $)$
A．$p=2$ B．$\vert MN\vert =\dfrac{8}{3}$
C．以$MN$为直径的圆与$l$相切 D．$\Delta OMN$为等腰三角形
答案：$AC$
分析：求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系判断选项的正误即可．
解：直线$y=-\sqrt{3}(x-1)$过抛物线$C:y^{2}=2px(p > 0)$的焦点，可得$\dfrac{p}{2}=1$，所以$p=2$，
所以$A$正确；
抛物线方程为：$y^{2}=4x$，与$C$交于$M$，$N$两点，
直线方程代入抛物线方程可得：$3x^{2}-10x+3=0$，
$x_{M}+x_{N}=\dfrac{10}{3}$，
所以$\vert MN\vert =x_{M}+x_{N}+p=\dfrac{16}{3}$，所以$B$不正确；
$M$，$N$的中点的横坐标：$\dfrac{5}{3}$，中点到抛物线的准线的距离为：$1+\dfrac{5}{3}=\dfrac{8}{3}$，
所以以$MN$为直径的圆与$l$相切，所以$C$正确；
$3x^{2}-10x+3=0$，
不妨可得$x_{M}=3$，$x_{N}=\dfrac{1}{3}$，$y_{M}=-2\sqrt{3}$，$y_{N}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，
$\vert OM\vert =\sqrt{9+12}=\sqrt{21}$，$\vert ON\vert =\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{12}{9}}=\dfrac{\sqrt{13}}{3}$，$\vert MN\vert =\dfrac{16}{3}$，
所以$\Delta OMN$不是等腰三角形，所以$D$不正确．
故选：$AC$．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．
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