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2021年高考数学新高考Ⅰ-21

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（12分）在平面直角坐标系

$xOy$ 中，已知点

$F_{1}(-\sqrt{17}$ ，

$0)$ ，

$F_{2}(\sqrt{17}$ ，

$0)$ ，点

$M$ 满足

$\vert MF_{1}\vert -\vert MF_{2}\vert =2$ ．记

$M$ 的轨迹为

$C$ ．
（1）求

$C$ 的方程；
（2）设点

$T$ 在直线

$x=\dfrac{1}{2}$ 上，过

$T$ 的两条直线分别交

$C$ 于

$A$ ，

$B$ 两点和

$P$ ，

$Q$ 两点，且

$\vert TA\vert \cdot \vert TB\vert =\vert TP\vert \cdot \vert TQ\vert$ ，求直线

$AB$ 的斜率与直线

$PQ$ 的斜率之和．
分析：（1）

$M$ 的轨迹

$C$ 是双曲线的右支，根据题意建立关于

$a$ ，

$b$ ，

$c$ 的方程组，解出即可求得

$C$ 的方程；
（2）（法一）设出直线

$AB$ 的参数方程，与双曲线方程联立，由参数的几何意义可求得

$\vert TA\vert \cdot \vert TB\vert$ ，同理求得

$\vert TP\vert \cdot \vert TQ\vert$ ，再根据

$\vert TA\vert \cdot \vert TB\vert =\vert TP\vert \cdot \vert TQ\vert$ ，即可得出答案．
（法二）设直线

$AB$ 方程，将其与

$CD$ 的方程联立，求出两根之和及两根之积，再表示出

$\vert AT\vert$ 及

$\vert BT\vert$ ，同理设出直线

$PQ$ 的方程，表示出

$\vert PT\vert$ 及

$\vert QT\vert$ ，根据

$\vert TA\vert \cdot \vert TB\vert =\vert TP\vert \cdot \vert TQ\vert$ ，代入化简后可得出结论．
解：（1）由双曲线的定义可知，

$M$ 的轨迹

$C$ 是双曲线的右支，设

$C$ 的方程为

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>0,b>0),x\geqslant 1$ ，
根据题意

$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{17}}\\ {2a=2}\\ {{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}}\end{array}\right.$ ，解得

$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\ {b=4}\\ {c=\sqrt{17}}\end{array}\right.$ ，

$\therefore C$ 的方程为

${x}^{2}-\dfrac{{y}^{2}}{16}=1(x\geqslant 1)$ ；
（2）（法一）设

$T(\dfrac{1}{2},m)$ ，直线

$AB$ 的参数方程为

$\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{1}{2}+t\cos \theta }\\ {y=m+t\sin \theta }\end{array}\right.$ ，
将其代入

$C$ 的方程并整理可得，

$(16\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )t^{2}+(16\cos \theta -2m\sin \theta )t-(m^{2}+12)=0$ ，
由参数的几何意义可知，

$\vert TA\vert =t_{1}$ ，

$\vert TB\vert =t_{2}$ ，则

${t}_{1}{t}_{2}=\dfrac{{m}^{2}+12}{si{n}^{2}\theta -16co{s}^{2}\theta }=\dfrac{{m}^{2}+12}{1-17co{s}^{2}\theta }$ ，
设直线

$PQ$ 的参数方程为

$\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{1}{2}+\lambda \cos \beta }\\ {y=m+\lambda \sin \beta }\end{array}\right.$ ，

$\vert TP\vert =\lambda _{1}$ ，

$\vert TQ\vert =\lambda _{2}$ ，同理可得，

${\lambda }_{1}{\lambda }_{2}=\dfrac{{m}^{2}+12}{1-17co{s}^{2}\beta }$ ，
依题意，

$\dfrac{{m}^{2}+12}{1-17co{s}^{2}\theta }=\dfrac{{m}^{2}+12}{1-17co{s}^{2}\beta }$ ，则

$\cos ^{2}\theta =\cos ^{2}\beta$ ，
又

$\theta \ne \beta$ ，故

$\cos \theta =-\cos \beta$ ，则

$\cos \theta +\cos \beta =0$ ，即直线

$AB$ 的斜率与直线

$PQ$ 的斜率之和为0．
（法二）设

$T(\dfrac{1}{2},t)$ ，直线

$AB$ 的方程为

$y={k}_{1}(x-\dfrac{1}{2})+t$ ，

$A(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$B(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，设

$\dfrac{1}{2}<{x}_{1}<{x}_{2}$ ，
将直线

$AB$ 方程代入

$C$ 的方程化简并整理可得，

$(16-{{k}_{1}}^{2}){x}^{2}-({{k}_{1}}^{2}-2t{k}_{1})x-\dfrac{1}{4}{{k}_{1}}^{2}+{k}_{1}t-{t}^{2}-16=0$ ，
由韦达定理有，

${x}_{1}+{x}_{2}=\dfrac{{{k}_{1}}^{2}-2{k}_{1}t}{{{k}_{1}}^{2}-16},{x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{-\dfrac{1}{4}{{k}_{1}}^{2}+{k}_{1}t-{t}^{2}-16}{{{16-k}_{1}}^{2}}$ ，
又由

$A({x}_{1},{k}_{1}{x}_{1}-\dfrac{1}{2}{k}_{1}+t),T(\dfrac{1}{2},t)$ 可得

$\vert AT\vert =\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}({x}_{1}-\dfrac{1}{2})$ ，
同理可得

$\vert BT\vert =\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}({x}_{2}-\dfrac{1}{2})$ ，

$\therefore$

$\vert AT\vert \vert BT\vert =(1+{{k}_{1}}^{2})({x}_{1}-\dfrac{1}{2})({x}_{2}-\dfrac{1}{2})=\dfrac{(1+{{k}_{1}}^{2})({t}^{2}+12)}{{{k}_{1}}^{2}-16}$ ，
设直线

$PQ$ 的方程为