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2021年高考数学新高考Ⅰ-20<-->2021年高考数学新高考Ⅰ-22
（12分）在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$F_{1}(-\sqrt{17}$，$0)$，$F_{2}(\sqrt{17}$，$0)$，点$M$满足$\vert MF_{1}\vert -\vert MF_{2}\vert =2$．记$M$的轨迹为$C$．
（1）求$C$的方程；
（2）设点$T$在直线$x=\dfrac{1}{2}$上，过$T$的两条直线分别交$C$于$A$，$B$两点和$P$，$Q$两点，且$\vert TA\vert \cdot \vert TB\vert =\vert TP\vert \cdot \vert TQ\vert$，求直线$AB$的斜率与直线$PQ$的斜率之和．
分析：（1）$M$的轨迹$C$是双曲线的右支，根据题意建立关于$a$，$b$，$c$的方程组，解出即可求得$C$的方程；
（2）（法一）设出直线$AB$的参数方程，与双曲线方程联立，由参数的几何意义可求得$\vert TA\vert \cdot \vert TB\vert$，同理求得$\vert TP\vert \cdot \vert TQ\vert$，再根据$\vert TA\vert \cdot \vert TB\vert =\vert TP\vert \cdot \vert TQ\vert$，即可得出答案．
（法二）设直线$AB$方程，将其与$CD$的方程联立，求出两根之和及两根之积，再表示出$\vert AT\vert$及$\vert BT\vert$，同理设出直线$PQ$的方程，表示出$\vert PT\vert$及$\vert QT\vert$，根据$\vert TA\vert \cdot \vert TB\vert =\vert TP\vert \cdot \vert TQ\vert$，代入化简后可得出结论．
解：（1）由双曲线的定义可知，$M$的轨迹$C$是双曲线的右支，设$C$的方程为$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>0,b>0),x\geqslant 1$，
根据题意$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{17}}\\ {2a=2}\\ {{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\ {b=4}\\ {c=\sqrt{17}}\end{array}\right.$，
$\therefore C$的方程为${x}^{2}-\dfrac{{y}^{2}}{16}=1(x\geqslant 1)$；
（2）（法一）设$T(\dfrac{1}{2},m)$，直线$AB$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{1}{2}+t\cos \theta }\\ {y=m+t\sin \theta }\end{array}\right.$，
将其代入$C$的方程并整理可得，$(16\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )t^{2}+(16\cos \theta -2m\sin \theta )t-(m^{2}+12)=0$，
由参数的几何意义可知，$\vert TA\vert =t_{1}$，$\vert TB\vert =t_{2}$，则${t}_{1}{t}_{2}=\dfrac{{m}^{2}+12}{si{n}^{2}\theta -16co{s}^{2}\theta }=\dfrac{{m}^{2}+12}{1-17co{s}^{2}\theta }$，
设直线$PQ$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{1}{2}+\lambda \cos \beta }\\ {y=m+\lambda \sin \beta }\end{array}\right.$，$\vert TP\vert =\lambda _{1}$，$\vert TQ\vert =\lambda _{2}$，同理可得，${\lambda }_{1}{\lambda }_{2}=\dfrac{{m}^{2}+12}{1-17co{s}^{2}\beta }$，
依题意，$\dfrac{{m}^{2}+12}{1-17co{s}^{2}\theta }=\dfrac{{m}^{2}+12}{1-17co{s}^{2}\beta }$，则$\cos ^{2}\theta =\cos ^{2}\beta$，
又$\theta \ne \beta$，故$\cos \theta =-\cos \beta$，则$\cos \theta +\cos \beta =0$，即直线$AB$的斜率与直线$PQ$的斜率之和为0．
（法二）设$T(\dfrac{1}{2},t)$，直线$AB$的方程为$y={k}_{1}(x-\dfrac{1}{2})+t$，$A(x_{1}$，$y_{1})$，$B(x_{2}$，$y_{2})$，设$\dfrac{1}{2}<{x}_{1}<{x}_{2}$，
将直线$AB$方程代入$C$的方程化简并整理可得，$(16-{{k}_{1}}^{2}){x}^{2}-({{k}_{1}}^{2}-2t{k}_{1})x-\dfrac{1}{4}{{k}_{1}}^{2}+{k}_{1}t-{t}^{2}-16=0$，
由韦达定理有，${x}_{1}+{x}_{2}=\dfrac{{{k}_{1}}^{2}-2{k}_{1}t}{{{k}_{1}}^{2}-16},{x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{-\dfrac{1}{4}{{k}_{1}}^{2}+{k}_{1}t-{t}^{2}-16}{{{16-k}_{1}}^{2}}$，
又由$A({x}_{1},{k}_{1}{x}_{1}-\dfrac{1}{2}{k}_{1}+t),T(\dfrac{1}{2},t)$可得$\vert AT\vert =\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}({x}_{1}-\dfrac{1}{2})$，
同理可得$\vert BT\vert =\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}({x}_{2}-\dfrac{1}{2})$，
$\therefore$$\vert AT\vert \vert BT\vert =(1+{{k}_{1}}^{2})({x}_{1}-\dfrac{1}{2})({x}_{2}-\dfrac{1}{2})=\dfrac{(1+{{k}_{1}}^{2})({t}^{2}+12)}{{{k}_{1}}^{2}-16}$，
设直线$PQ$的方程为$y={k}_{2}(x-\dfrac{1}{2})+t,P({x}_{3},{y}_{3}),Q({x}_{4},{y}_{4})$，设$\dfrac{1}{2}<{x}_{3}<{x}_{4}$，
同理可得$\vert PT\vert \vert QT\vert =\dfrac{(1+{{k}_{2}}^{2})({t}^{2}+12)}{{{k}_{2}}^{2}-16}$，
又$\vert AT\vert \vert BT\vert =\vert PT\vert \vert QT\vert$，则$\dfrac{1+{{k}_{1}}^{2}}{{{k}_{1}}^{2}-16}=\dfrac{1+{{k}_{2}}^{2}}{{{k}_{2}}^{2}-16}$，化简可得${{k}_{1}}^{2}={{k}_{2}}^{2}$，
又$k_{1}\ne k_{2}$，则$k_{1}=-k_{2}$，即$k_{1}+k_{2}=0$，即直线$AB$的斜率与直线$PQ$的斜率之和为0．
点评：本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线参数方程的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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