2023年高考数学新高考Ⅰ-15<-->2023年高考数学新高考Ⅰ-17
(5分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,→F1A⊥→F1B,→F2A=−23→F2B,则C的离心率为 3√55 . 分析:(法一)设F1(−c,0),F2(c,0),B(0,n),根据题意可得点A的坐标,进一步得到→F1A=(83c,−23n),→F1B=(c,n),再由→F1A⊥→F1B,可得n2=4c2.结合点A在双曲线上,可得解; (法二)易知|→F2A||→F2B|=23,设|→F2A|=2t,|→F2B|=3t,∠F1AF2=θ,解三角形可知5c2=9a2,进而得解. 解:
 (法一)如图,设F1(−c,0),F2(c,0),B(0,n), 设A(x,y),则→F2A=(x−c,y),→F2B=(−c,n), 又→F2A=−23→F2B,则{x−c=23cy=−23n,可得A(53c,−23n), 又→F1A⊥→F1B,且→F1A=(83c,−23n),→F1B=(c,n), 则→F1A⋅→F1B=83c2−23n2=0,化简得n2=4c2. 又点A在C上, 则259c2a2−49n2b2=1,整理可得25c29a2−4n29b2=1, 代n2=4c2,可得25c2a2−16c2b2=9,即25e2−16e2e2−1=9, 解得e2=95或15(舍去), 故e=3√55. (法二)由→F2A=−23→F2B,得|→F2A||→F2B|=23, 设|→F2A|=2t,|→F2B|=3t,由对称性可得|→F1B|=3t, 则|→AF1|=2t+2a,|→AB|=5t, 设∠F1AF2=θ,则sinθ=3t5t=35, 所以cosθ=45=2t+2a5t,解得t=a, 所以|→AF1|=2t+2a=4a,|→AF2|=2a, 在△AF1F2 中,由余弦定理可得cosθ=16a2+4a2−4c216a2=45, 即5c2=9a2,则e=3√55. 故答案为:3√55.
点评:本题考查双曲线的性质,考查运算求解能力,属于中档题.
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