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2023年高考数学新高考Ⅰ-16

(5分)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1F2.点AC上,点By轴上,F1AF1BF2A=23F2B,则C的离心率为  355 .
分析:(法一)设F1(c,0)F2(c,0)B(0,n),根据题意可得点A的坐标,进一步得到F1A=(83c,23n),F1B=(c,n),再由F1AF1B,可得n2=4c2.结合点A在双曲线上,可得解;
(法二)易知|F2A||F2B|=23,设|F2A|=2t,|F2B|=3tF1AF2=θ,解三角形可知5c2=9a2,进而得解.
解:

(法一)如图,设F1(c,0)F2(c,0)B(0,n)
A(x,y),则F2A=(xc,y),F2B=(c,n)
F2A=23F2B,则{xc=23cy=23n,可得A(53c,23n)
F1AF1B,且F1A=(83c,23n),F1B=(c,n)
F1AF1B=83c223n2=0,化简得n2=4c2
又点AC上,
259c2a249n2b2=1,整理可得25c29a24n29b2=1
n2=4c2,可得25c2a216c2b2=9,即25e216e2e21=9
解得e2=9515(舍去),
e=355
(法二)由F2A=23F2B,得|F2A||F2B|=23
|F2A|=2t,|F2B|=3t,由对称性可得|F1B|=3t
|AF1|=2t+2a,|AB|=5t
F1AF2=θ,则sinθ=3t5t=35
所以cosθ=45=2t+2a5t,解得t=a
所以|AF1|=2t+2a=4a,|AF2|=2a
在△AF1F2 中,由余弦定理可得cosθ=16a2+4a24c216a2=45
5c2=9a2,则e=355
故答案为:355

点评:本题考查双曲线的性质,考查运算求解能力,属于中档题.
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