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2023年高考数学新高考Ⅰ-15<-->2023年高考数学新高考Ⅰ-17
（5分）已知双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$．点$A$在$C$上，点$B$在$y$轴上，$\overrightarrow{{F_1}A}\bot \overrightarrow{{F_1}B}$，$\overrightarrow{{F_2}A}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{{F_2}B}$，则$C$的离心率为 $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$ ．
分析：（法一）设$F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$，$B(0,n)$，根据题意可得点$A$的坐标，进一步得到$\overrightarrow{{F}_{1}A}=(\dfrac{8}{3}c,-\dfrac{2}{3}n),\overrightarrow{{F}_{1}B}=(c,n)$，再由$\overrightarrow{{F_1}A}\bot \overrightarrow{{F_1}B}$，可得$n^{2}=4c^{2}$．结合点$A$在双曲线上，可得解；
（法二）易知$\dfrac{\vert \overrightarrow{{F}_{2}A}\vert }{\vert \overrightarrow{{F}_{2}B}\vert }=\dfrac{2}{3}$，设$\vert \overrightarrow{{F}_{2}A}\vert =2t,\vert \overrightarrow{{F}_{2}B}\vert =3t$，$\angle F_{1}AF_{2}=\theta$，解三角形可知$5c^{2}=9a^{2}$，进而得解．
解：
（法一）如图，设$F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$，$B(0,n)$，
设$A(x,y)$，则$\overrightarrow{{F}_{2}A}=(x-c,y),\overrightarrow{{F}_{2}B}=(-c,n)$，
又$\overrightarrow{F_2A}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{F_2B}$，则$\left\{\begin{array}{l}{x-c=\dfrac{2}{3}c}\\ {y=-\dfrac{2}{3}n}\end{array}\right.$，可得$A(\dfrac{5}{3}c,-\dfrac{2}{3}n)$，
又$\overrightarrow{{F_1}A}\bot \overrightarrow{{F_1}B}$，且$\overrightarrow{{F}_{1}A}=(\dfrac{8}{3}c,-\dfrac{2}{3}n),\overrightarrow{{F}_{1}B}=(c,n)$，
则$\overrightarrow{{F}_{1}A}\cdot \overrightarrow{{F}_{1}B}=\dfrac{8}{3}{c}^{2}-\dfrac{2}{3}{n}^{2}=0$，化简得$n^{2}=4c^{2}$．
又点$A$在$C$上，
则$\dfrac{\dfrac{25}{9}{c}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{\dfrac{4}{9}{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，整理可得$\dfrac{25{c}^{2}}{9{a}^{2}}-\dfrac{4{n}^{2}}{9{b}^{2}}=1$，
代$n^{2}=4c^{2}$，可得$\dfrac{25{c}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{16{c}^{2}}{{b}^{2}}=9$，即$25{e}^{2}-\dfrac{16{e}^{2}}{{e}^{2}-1}=9$，
解得$e^2=\dfrac{9}{5}$或$\dfrac{1}{5}$（舍去），
故$e=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$．
（法二）由$\overrightarrow{F_2A}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{F_2B}$，得$\dfrac{\vert \overrightarrow{{F}_{2}A}\vert }{\vert \overrightarrow{{F}_{2}B}\vert }=\dfrac{2}{3}$，
设$\vert \overrightarrow{{F}_{2}A}\vert =2t,\vert \overrightarrow{{F}_{2}B}\vert =3t$，由对称性可得$\vert \overrightarrow{{F}_{1}B}\vert =3t$，
则$\vert \overrightarrow{A{F}_{1}}\vert =2t+2a,\vert \overrightarrow{AB}\vert =5t$，
设$\angle F_{1}AF_{2}=\theta$，则$\sin \theta =\dfrac{3t}{5t}=\dfrac{3}{5}$，
所以$\cos \theta =\dfrac{4}{5}=\dfrac{2t+2a}{5t}$，解得$t=a$，
所以$\vert \overrightarrow{A{F}_{1}}\vert =2t+2a=4a,\vert \overrightarrow{A{F}_{2}}\vert =2a$，
在△$AF_{1}F_{2}$ 中，由余弦定理可得$\cos \theta =\dfrac{16{a}^{2}+4{a}^{2}-4{c}^{2}}{16{a}^{2}}=\dfrac{4}{5}$，
即$5c^{2}=9a^{2}$，则$e=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$．
点评：本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
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