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2023年高考数学新高考Ⅰ-16<-->2023年高考数学新高考Ⅰ-18
（10分）已知在$\Delta ABC$中，$A+B=3C$，$2\sin (A-C)=\sin B$．
（1）求$\sin A$；
（2）设$AB=5$，求$AB$边上的高．
答案：（1）$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$；（2）6．
分析：（1）由三角形内角和可得$C=\dfrac{\pi }{4}$，由$2\sin (A-C)=\sin B$，可得$2\sin (A-C)=\sin (A+C)$，再利用两角和与差的三角函数公式化简可得$\sin A=3\cos A$，再结合平方关系即可求出$\sin A$；
（2）由$\sin B=\sin (A+C)$求出$\sin B$，再利用正弦定理求出$AC$，$BC$，由等面积法即可求出$AB$边上的高．
解：（1）$\because A+B=3C$，$A+B+C=\pi$，
$\therefore 4C=\pi$，
$\therefore C=\dfrac{\pi }{4}$，
$\because 2\sin (A-C)=\sin B$，
$\therefore 2\sin (A-C)=\sin [\pi -(A+C)]=\sin (A+C)$，
$\therefore 2\sin A\cos C-2\cos A\sin C=\sin A\cos C+\cos A\sin C$，
$\therefore \sin A\cos C=3\cos A\sin C$，
$\therefore$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin A=3\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos A$，
$\therefore \sin A=3\cos A$，即$\cos A=\dfrac{1}{3}\sin A$，
又$\because \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$，$\therefore$$si{n}^{2}A+\dfrac{1}{9}si{n}^{2}A=1$，
解得$\sin ^{2}A=\dfrac{9}{10}$，
又$\because A\in (0,\pi )$，$\therefore \sin A > 0$，
$\therefore \sin A=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$；
（2）由（1）可知$\sin A=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$，$\cos A=\dfrac{1}{3}\sin A=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$，
$\therefore \sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{10}}{10}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore$$\dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{5}{\sin \dfrac{\pi }{4}}=5\sqrt{2}$，
$\therefore AC=5\sqrt{2}\sin B=5\sqrt{2}\times \dfrac{2\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{10}$，$BC=5\sqrt{2}\times \sin A=5\sqrt{2}\times \dfrac{3\sqrt{10}}{10}=3\sqrt{5}$，
设$AB$边上的高为$h$，
则$\dfrac{1}{2}AB\cdot h=\dfrac{1}{2}\times AC\times BC\times \sin C$，
$\therefore$$\dfrac{5}{2}h=\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{10}\times 3\sqrt{5}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$h=6$，
即$AB$边上的高为6．
点评：本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
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