2020年高考数学新高考Ⅱ-14

斜率为

$\sqrt{3}$ 的直线过抛物线

$C:y^{2}=4x$ 的焦点，且与

$C$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，则

$\vert AB\vert =$ 　____ 　．
分析：由题意求出直线

$AB$ 的方程，联立直线和抛物线方程，利用抛物线的性质转化求解即可．
解答：由题意可得抛物线焦点

$F(1,0)$ ，直线

$l$ 的方程为

$y=\sqrt{3}(x-1)$ ，
代入

$y^{2}=4x$ 并化简得

$3x^{2}-10x+3=0$ ，
设

$A(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$B(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，则

$x_{1}+x_{2}=\dfrac{10}{3}$ ；

$x_{1}x_{2}=1$ ，

$\therefore$ 由抛物线的定义可得

$\vert AB\vert =x_{1}+x_{2}+p=\dfrac{10}{3}+2=\dfrac{16}{3}$ ．
故答案为：

$\dfrac{16}{3}$ ．
点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．

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