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2020年高考数学新高考Ⅱ-9<-->2020年高考数学新高考Ⅱ-11
已知曲线$C:mx^{2}+ny^{2}=1$．( )
A．若$m>n>0$，则$C$是椭圆，其焦点在$y$轴上
B．若$m=n>0$，则$C$是圆，其半径为$\sqrt{n}$
C．若$mn<0$，则$C$是双曲线，其渐近线方程为$y=\pm \sqrt{-\dfrac{m}{n}}x$
D．若$m=0$，$n>0$，则$C$是两条直线
分析：根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可．
解答：A．若$m>n>0$，则$\dfrac{1}{m}<\dfrac{1}{n}$，则根据椭圆定义，知$\dfrac{{x}^{2}}{\dfrac{1}{m}}+\dfrac{{y}^{2}}{\dfrac{1}{n}}=1$表示焦点在$y$轴上的椭圆，故A正确；
B．若$m=n>0$，则方程为$x^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{n}$，表示半径为$\dfrac{1}{\sqrt{n}}$的圆，故B错误；
C．若$m<0$，$n>0$，则方程为$\dfrac{{x}^{2}}{\dfrac{1}{m}}+\dfrac{{y}^{2}}{\dfrac{1}{n}}=1$，表示焦点在$y$轴的双曲线，故此时渐近线方程为$y=\pm \sqrt{-\dfrac{m}{n}}x$，
若$m>0$，$n<0$，则方程为$\dfrac{{x}^{2}}{\dfrac{1}{m}}+\dfrac{{y}^{2}}{\dfrac{1}{n}}=1$，表示焦点在$x$轴的双曲线，故此时渐近线方程为$y=\pm \sqrt{-\dfrac{m}{n}}x$，
故C正确；
D．当$m=0$，$n>0$时，则方程为$y=\pm \dfrac{1}{\sqrt{n}}$表示两条直线，故$D$正确；
故选：ACD．
点评：本题考查圆锥曲线方程的定义，属于中档题．
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