2020年高考数学新高考Ⅱ-10

已知曲线

$C:mx^{2}+ny^{2}=1$ ．(　　)
A．若

$m>n>0$ ，则

$C$ 是椭圆，其焦点在

$y$ 轴上
B．若

$m=n>0$ ，则

$C$ 是圆，其半径为

$\sqrt{n}$
C．若

$mn<0$ ，则

$C$ 是双曲线，其渐近线方程为

$y=\pm \sqrt{-\dfrac{m}{n}}x$
D．若

$m=0$ ，

$n>0$ ，则

$C$ 是两条直线
分析：根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可．
解答：A．若

$m>n>0$ ，则

$\dfrac{1}{m}<\dfrac{1}{n}$ ，则根据椭圆定义，知

$\dfrac{{x}^{2}}{\dfrac{1}{m}}+\dfrac{{y}^{2}}{\dfrac{1}{n}}=1$ 表示焦点在

$y$ 轴上的椭圆，故A正确；
B．若

$m=n>0$ ，则方程为

$x^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{n}$ ，表示半径为

$\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ 的圆，故B错误；
C．若

$m<0$ ，

$n>0$ ，则方程为

$\dfrac{{x}^{2}}{\dfrac{1}{m}}+\dfrac{{y}^{2}}{\dfrac{1}{n}}=1$ ，表示焦点在

$y$ 轴的双曲线，故此时渐近线方程为

$y=\pm \sqrt{-\dfrac{m}{n}}x$ ，
若

$m>0$ ，

$n<0$ ，则方程为

$\dfrac{{x}^{2}}{\dfrac{1}{m}}+\dfrac{{y}^{2}}{\dfrac{1}{n}}=1$ ，表示焦点在

$x$ 轴的双曲线，故此时渐近线方程为

$y=\pm \sqrt{-\dfrac{m}{n}}x$ ，
故C正确；
D．当

$m=0$ ，

$n>0$ 时，则方程为

$y=\pm \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ 表示两条直线，故

$D$ 正确；
故选：ACD．
点评：本题考查圆锥曲线方程的定义，属于中档题．

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