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2020年高考数学新高考Ⅱ-20<-->2020年高考数学新高考Ⅱ-22
（12分）已知椭圆$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$过点$M(2,3)$，点$A$为其左顶点，且$AM$的斜率为$\dfrac{1}{2}$．
（1）求$C$的方程；
（2）点$N$为椭圆上任意一点，求$\Delta AMN$的面积的最大值．
分析：
（1）利用已知条件求出$A$的坐标，然后求解$b$，得到椭圆方程．
（2）设出与直线$AM$平行的直线方程，与椭圆联立，利用判别式为0，求出椭圆的切线方程，然后求解三角形的最大值．
解答：（1）由题意可知直线$AM$的方程为：$y-3=\dfrac{1}{2}(x-2)$，
即$x-2y=-4$，
当$y=0$时，解得$x=-4$，所以$a=4$，
椭圆$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$过点$M(2,3)$，
可得$\dfrac{4}{16}+\dfrac{9}{{b}^{2}}=1$，解得$b^{2}=12$，
所以$C$的方程：$\dfrac{{x}^{2}}{16}+\dfrac{{y}^{2}}{12}=1$．
（2）设与直线$AM$平行的直线方程为：$x-2y=m$，当直线与椭圆相切时，与$AM$距离比较远的直线与椭圆的切点为$N$，此时$\Delta AMN$的面积取得最大值．
$x-2y=m$代入椭圆方程：$\dfrac{{x}^{2}}{16}+\dfrac{{y}^{2}}{12}=1$．
化简可得：$16y^{2}+12my+3m^{2}-48=0$，所以△$=144m^{2}-4\times 16(3m^{2}-48)=0$，即$m^{2}=64$，解得$m=\pm 8$，
与$AM$距离比较远的直线方程：$x-2y=8$，
利用平行线之间的距离为：$d=\dfrac{8+4}{\sqrt{1+4}}=\dfrac{12\sqrt{5}}{5}$，
$\vert AM\vert =\sqrt{(2+4)^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{5}$．
所以$\Delta AMN$的面积的最大值：$\dfrac{1}{2}\times 3\sqrt{5}\times \dfrac{12\sqrt{5}}{5}=18$．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是中档偏难题．
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