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2020年高考数学新高考Ⅱ-19<-->2020年高考数学新高考Ⅱ-21
（12分）如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=√2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
分析：（1）过P在平面PAD内作直线l//AD，推得l为平面PAD和平面PBC的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；
（2）以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，求出Q(0，1，1)，运用向量法，求得平面QCD的法向量，结合向量的夹角公式求解即可．
解答：（1）证明：过P在平面PAD内作直线l//AD，
由AD//BC，可得l//BC，即l为平面PAD和平面PBC的交线，
∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，
又BC⊥CD，CD⋂PD=D，∴BC⊥平面PCD，
∵l//BC，∴l⊥平面PCD；
（2）解：如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，
∵PD=AD=1，Q为l上的点，QB=√2，
∴PB=√3，QP=1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，B(1，1，0)，作PQ//AD，则PQ为平面PAD与平面PBC的交线为l，因为QB=√2，ΔQAB是等腰直角三角形，所以Q(1，0，1)，
则→DQ=(1，0，1)，→PB=(1，1，−1)，→DC=(0，1，0)，
设平面QCD的法向量为→n=(a，b，c)，
则{→n⋅→DC=0→n⋅→DQ=0，∴{b=0a+c=0，取c=1，可得→n=(−1，0，1)，
∴cos<→n，→PB>=→n⋅→PB|→n||→PB|=−1−1√3⋅√2=√63，
∴PB与平面QCD所成角的正弦值为√63．
点评：本题考查空间线面垂直的判定，以及线面角的求法，考查转化思想和向量法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
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