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2022年高考数学新高考Ⅰ-21

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21．（12分）已知点

$A(2,1)$ 在双曲线

$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{{a^2}-1}=1(a > 1)$ 上，直线

$l$ 交

$C$ 于

$P$ ，

$Q$ 两点，直线

$AP$ ，

$AQ$ 的斜率之和为0．
（1）求

$l$ 的斜率；
（2）若

$\tan \angle PAQ=2\sqrt{2}$ ，求

$\Delta PAQ$ 的面积．
分析：（1）将点

$A$ 代入双曲线方程得

$\dfrac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}=1$ ，由题显然直线

$l$ 的斜率存在，设

$l:y=kx+m$ ，与双曲线联立后，根据直线

$AP$ ，

$AQ$ 的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线

$AP$ 的倾斜角为

$\alpha$ ，由

$\tan \angle PAQ=2\sqrt{2}$ ，得

$\tan \dfrac{\angle PAQ}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，联立

$\dfrac{y_{1}-1}{x_{1}-2}=\sqrt{2}$ ，及

$\dfrac{x_{1}^{2}}{2}-y_{1}^{2}=1$ ，根据三角形面积公式即可求解．
解：（1）将点

$A$ 代入双曲线方程得

$\dfrac{4}{{a}^{2}}-\dfrac{1}{{a}^{2}-1}=1$ ，
化简得

$a^{4}-4a^{2}+4=0$ ，

$\therefore a^{2}=2$ ，故双曲线方程为

$\dfrac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$ ，
由题显然直线

$l$ 的斜率存在，设

$l:y=kx+m$ ，设

$P(x_{1}$ ，

$y_{1})Q(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，
则联立双曲线得：

$(2k^{2}-1)x^{2}+4kmx+2m^{2}+2=0$ ，
故

$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{4km}{2k^{2}-1}$ ，

${x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{2{m}^{2}+2}{2{k}^{2}-1}$ ，

${k}_{AP}+{k}_{AQ}=\dfrac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}+\dfrac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}=\dfrac{k{x}_{1}+m-1}{{x}_{1}-2}+\dfrac{k{x}_{2}+m-1}{{x}_{2}-2}=0$ ，
化简得：

$2kx_{1}x_{2}+(m-1-2k)(x_{1}+x_{2})-4(m-1)=0$ ，
故

$\dfrac{2k(2{m}^{2}+2)}{2{k}^{2}-1}+(m-1-2k)(-\dfrac{4km}{2{k}^{2}-1})-4(m-1)=0$ ，
即

$(k+1)(m+2k-1)=0$ ，而直线

$l$ 不过

$A$ 点，故

$k=-1$ ；
（2）设直线

$AP$ 的倾斜角为

$\alpha$ ，由

$\tan \angle PAQ=2\sqrt{2}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{2\tan \dfrac{\angle PAQ}{2}}{1-\tan ^{2}\dfrac{\angle PAQ}{2}}=2\sqrt{2}$ ，得

$\tan \dfrac{\angle PAQ}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
由

$2\alpha +\angle PAQ=\pi$ ，

$\therefore$

$\alpha =\dfrac{\pi -\angle PAQ}{2}$ ，
得

$k_{AP}=\tan \alpha =\sqrt{2}$ ，即

$\dfrac{y_{1}-1}{x_{1}-2}=\sqrt{2}$ ，
联立

$\dfrac{y_{1}-1}{x_{1}-2}=\sqrt{2}$ ，及

$\dfrac{x_{1}^{2}}{2}-y_{1}^{2}=1$ 得

$x_{1}=\dfrac{10-4\sqrt{2}}{3},y_{1}=\dfrac{4\sqrt{2}-5}{3}$ ，
代入直线

$l$ 得

$m=\dfrac{5}{3}$ ，故

$x_{1}+x_{2}=\dfrac{20}{3},x_{1}x_{2}=\dfrac{68}{9}$
而

$\vert AP\vert =\sqrt{3}\vert x_{1}-2\vert ,\vert AQ\vert =\sqrt{3}\vert x_{2}-2\vert$ ，由

$\tan \angle PAQ=2\sqrt{2}$ ，得

$\sin \angle PAQ=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ 故

$S_{\Delta PAQ}=\dfrac{1}{2}\vert AP\vert \vert AQ\vert \sin \angle PAQ=\sqrt{2}\vert x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4\vert =\dfrac{16\sqrt{2}}{9}$ ．
点评：本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．

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