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2022年高考数学新高考Ⅰ-20

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（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

	不够良好	良好
病例组	40	60
对照组	10	90

（1）能否有

$99%$ 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，

$A$ 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，

$B$ 表示事件“选到的人患有该疾病”，

$\dfrac{P(B\vert A)}{P(\overline{B}\vert A)}$ 与

$\dfrac{P(B\vert \overline{A})}{P(\overline{B}\vert \overline{A})}$ 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为

$R$ ．
（ⅰ）证明：

$R=\dfrac{P(A\vert B)}{P(\overline{A}\vert B)}\cdot \dfrac{P(\overline{A}\vert \overline{B})}{P(A\vert \overline{B})}$ ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出

$P(A\vert B)$ ，

$P(A\vert \overline{B})$ 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出

$R$ 的估计值．
附：

$K^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ．

$P(K^{2}\geqslant k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

分析：（1）补充列联表，根据表中数据计算

$K^{2}$ ，对照附表得出结论．
（2）(i)根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；
（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．
解：（1）补充列联表为：

	不够良好	良好	合计
病例组	40	60	100
对照组	10	90	100
合计	50	150	200

计算

$K^{2}=\dfrac{200{\times (40\times 90-10\times 60)}^{2}}{100\times 100\times 50\times 150}=24 > 6.635$ ，
所以有

$99%$ 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
（2）(i)证明：

$R=\dfrac{P(B\vert A)}{P(\overline{B}\vert A)}:\dfrac{P(B\vert \overline{A})}{P(\overline{B}\vert \overline{A})}$

$=\dfrac{P(B\vert A)}{P(\overline{B}\vert A)}\cdot \dfrac{P(\overline{B}\vert \overline{A})}{P(B\vert \overline{A})}$

$=\dfrac{\dfrac{P(AB)}{P(A)}}{\dfrac{P(A\overline{B})}{P(A)}}\cdot \dfrac{\dfrac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{A})}}{\dfrac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}}$

$=\dfrac{P(AB)\cdot P(\overline{A}\overline{B})}{P(A\overline{B})\cdot P(\overline{A}B)}$

$=\dfrac{\dfrac{P(AB)}{P(B)}}{\dfrac{P(\overline{A}B)}{P(B)}}\cdot \dfrac{\dfrac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})}}{\dfrac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}}$

$=\dfrac{P(A\vert B)}{P(\overline{A}\vert B)}\cdot \dfrac{P(\overline{A}\vert \overline{B})}{P(A\vert \overline{B})}$ ；
（ⅱ）利用调查数据，

$P(A\vert B)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$ ，

$P(A\vert \overline{B})=\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$ ，

$P(\overline{A}\vert B)=1-P(A\vert B)=\dfrac{3}{5}$ ，

$P(\overline{A}\vert \overline{B})=1-P(A\vert \overline{B})=\dfrac{9}{10}$ ，
所以

$R=\dfrac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{3}{5}}\times \dfrac{\dfrac{9}{10}}{\dfrac{1}{10}}=6$ ．
点评：本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．

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