|
2022年高考数学新高考Ⅰ-19<-->2022年高考数学新高考Ⅰ-21
（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
| |
不够良好 |
良好 |
| 病例组 |
40 |
60 |
| 对照组 |
10 |
90 |
（1）能否有$99%$的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，$A$表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， $B$表示事件“选到的人患有该疾病”， $\dfrac{P(B\vert A)}{P(\overline{B}\vert A)}$与$\dfrac{P(B\vert \overline{A})}{P(\overline{B}\vert \overline{A})}$的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为$R$．
（ⅰ）证明：$R=\dfrac{P(A\vert B)}{P(\overline{A}\vert B)}\cdot \dfrac{P(\overline{A}\vert \overline{B})}{P(A\vert \overline{B})}$；
（ⅱ）利用该调查数据，给出$P(A\vert B)$，$P(A\vert \overline{B})$的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出$R$的估计值．
附：$K^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$．
| $P(K^{2}\geqslant k)$ |
0.050 |
0.010 |
0.001 |
| $k$ |
3.841 |
6.635 |
10.828 |
分析：（1）补充列联表，根据表中数据计算$K^{2}$，对照附表得出结论．
（2）(i)根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；
（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．
解：（1）补充列联表为：
| |
不够良好 |
良好 |
合计 |
| 病例组 |
40 |
60 |
100 |
| 对照组 |
10 |
90 |
100 |
| 合计 |
50 |
150 |
200 |
计算$K^{2}=\dfrac{200{\times (40\times 90-10\times 60)}^{2}}{100\times 100\times 50\times 150}=24 > 6.635$，
所以有$99%$的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
（2）(i)证明：
$R=\dfrac{P(B\vert A)}{P(\overline{B}\vert A)}:\dfrac{P(B\vert \overline{A})}{P(\overline{B}\vert \overline{A})}$
$=\dfrac{P(B\vert A)}{P(\overline{B}\vert A)}\cdot \dfrac{P(\overline{B}\vert \overline{A})}{P(B\vert \overline{A})}$
$=\dfrac{\dfrac{P(AB)}{P(A)}}{\dfrac{P(A\overline{B})}{P(A)}}\cdot \dfrac{\dfrac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{A})}}{\dfrac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}}$
$=\dfrac{P(AB)\cdot P(\overline{A}\overline{B})}{P(A\overline{B})\cdot P(\overline{A}B)}$
$=\dfrac{\dfrac{P(AB)}{P(B)}}{\dfrac{P(\overline{A}B)}{P(B)}}\cdot \dfrac{\dfrac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})}}{\dfrac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}}$
$=\dfrac{P(A\vert B)}{P(\overline{A}\vert B)}\cdot \dfrac{P(\overline{A}\vert \overline{B})}{P(A\vert \overline{B})}$；
（ⅱ）利用调查数据，$P(A\vert B)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$，
$P(A\vert \overline{B})=\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$，
$P(\overline{A}\vert B)=1-P(A\vert B)=\dfrac{3}{5}$，
$P(\overline{A}\vert \overline{B})=1-P(A\vert \overline{B})=\dfrac{9}{10}$，
所以$R=\dfrac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{3}{5}}\times \dfrac{\dfrac{9}{10}}{\dfrac{1}{10}}=6$．
点评：本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．
2022年高考数学新高考Ⅰ-19<-->2022年高考数学新高考Ⅰ-21
全网搜索"2022年高考数学新高考Ⅰ-20"相关
|
