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2022年高考数学新高考Ⅰ-18<-->2022年高考数学新高考Ⅰ-20
（12分）如图，直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$的体积为4，△$A_{1}BC$的面积为$2\sqrt{2}$．
（1）求$A$到平面$A_{1}BC$的距离；
（2）设$D$为$A_{1}C$的中点，$AA_{1}=AB$，平面$A_{1}BC\bot$平面$ABB_{1}A_{1}$，求二面角$A-BD-C$的正弦值．
分析：（1）利用体积法可求点$A$到平面$A_{1}BC$的距离；
（2）以$B$为坐标原点，$BC$，$BA$，$BB_{1}$所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角$A-BD-C$的正弦值．
解：（1）由直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$的体积为4，可得$V{}_{{A}_{1}-ABC}=\dfrac{1}{3}V{}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}-ABC}=\dfrac{4}{3}$，
设$A$到平面$A_{1}BC$的距离为$d$，由$V{}_{{A}_{1}-ABC}=V{}_{A-{A}_{1}BC}$，
$\therefore$$\dfrac{1}{3}S{}_{\triangle {A}_{1}BC}\cdot d=\dfrac{4}{3}$，$\therefore$$\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{2}\cdot d=\dfrac{4}{3}$，解得$d=\sqrt{2}$．
（2）连接$AB_{1}$交$A_{1}B$于点$E$，$\because AA_{1}=AB$，$\therefore$四边形$ABB_{1}A_{1}$为正方形，
$\therefore AB_{1}\bot A_{1}B$，又$\because$平面$A_{1}BC\bot$平面$ABB_{1}A_{1}$，平面$A_{1}BC\bigcap$平面$ABB_{1}A_{1}=A_{1}B$，
$\therefore AB_{1}\bot$平面$A_{1}BC$，$\therefore AB_{1}\bot BC$，
由直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$知$BB_{1}\bot$平面$ABC$，$\therefore BB_{1}\bot BC$，又$AB_{1}\bigcap BB_{1}=B_{1}$，
$\therefore BC\bot$平面$ABB_{1}A_{1}$，$\therefore BC\bot AB$，
以$B$为坐标原点，$BC$，$BA$，$BB_{1}$所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
$\because AA_{1}=AB$，$\therefore BC\times \sqrt{2}AB\times \dfrac{1}{2}=2\sqrt{2}$，又$\dfrac{1}{2}AB\times BC\times AA_{1}=4$，解得$AB=BC=AA_{1}=2$，
则$B(0$，0，$0)$，$A(0$，2，$0)$，$C(2$，0，$0)$，$A_{1}(0$，2，$2)$，$D(1$，1，$1)$，
则$\overrightarrow{BA}=(0$，2，$0)$，$\overrightarrow{BD}=(1$，1，$1)$，$\overrightarrow{BC}=(2$，0，$0)$，
设平面$ABD$的一个法向量为$\overrightarrow{n}=(x$，$y$，$z)$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{BA}=2y=0}\\ {\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{BD}=x+y+z=0}\end{array}\right.$，令$x=1$，则$y=0$，$z=-1$，
$\therefore$平面$ABD$的一个法向量为$\overrightarrow{n}=(1$，0，$-1)$，
设平面$BCD$的一个法向量为$\overrightarrow{m}=(a$，$b$，$c)$，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{BC}=2a=0}\\ {\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{BD}=a+b+c=0}\end{array}\right.$，令$b=1$，则$a=0$，$c=-1$，
平面$BCD$的一个法向量为$\overrightarrow{m}=(0$，1，$-1)$，
$\cos < \overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m} > =\dfrac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}$，
二面角$A-BD-C$的正弦值为$\sqrt{1-(\dfrac{1}{2})^{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
点评：本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．
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