首页 > 数学 > 高考题 > 2022 > 2022年新高考1

2022年高考数学新高考Ⅰ-19

2022年高考数学新高考Ⅰ-18<-->2022年高考数学新高考Ⅰ-20

（12分）如图，直三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 的体积为4，△

$A_{1}BC$ 的面积为

$2\sqrt{2}$ ．
（1）求

$A$ 到平面

$A_{1}BC$ 的距离；
（2）设

$D$ 为

$A_{1}C$ 的中点，

$AA_{1}=AB$ ，平面

$A_{1}BC\bot$ 平面

$ABB_{1}A_{1}$ ，求二面角

$A-BD-C$ 的正弦值．

分析：（1）利用体积法可求点

$A$ 到平面

$A_{1}BC$ 的距离；
（2）以

$B$ 为坐标原点，

$BC$ ，

$BA$ ，

$BB_{1}$ 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角

$A-BD-C$ 的正弦值．
解：（1）由直三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 的体积为4，可得

$V{}_{{A}_{1}-ABC}=\dfrac{1}{3}V{}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}-ABC}=\dfrac{4}{3}$ ，
设

$A$ 到平面

$A_{1}BC$ 的距离为

$d$ ，由

$V{}_{{A}_{1}-ABC}=V{}_{A-{A}_{1}BC}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{3}S{}_{\triangle {A}_{1}BC}\cdot d=\dfrac{4}{3}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{2}\cdot d=\dfrac{4}{3}$ ，解得

$d=\sqrt{2}$ ．
（2）连接

$AB_{1}$ 交

$A_{1}B$ 于点

$E$ ，

$\because AA_{1}=AB$ ，

$\therefore$ 四边形

$ABB_{1}A_{1}$ 为正方形，

$\therefore AB_{1}\bot A_{1}B$ ，又

$\because$ 平面

$A_{1}BC\bot$ 平面

$ABB_{1}A_{1}$ ，平面

$A_{1}BC\bigcap$ 平面

$ABB_{1}A_{1}=A_{1}B$ ，

$\therefore AB_{1}\bot$ 平面

$A_{1}BC$ ，

$\therefore AB_{1}\bot BC$ ，
由直三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 知

$BB_{1}\bot$ 平面

$ABC$ ，

$\therefore BB_{1}\bot BC$ ，又

$AB_{1}\bigcap BB_{1}=B_{1}$ ，

$\therefore BC\bot$ 平面

$ABB_{1}A_{1}$ ，

$\therefore BC\bot AB$ ，
以

$B$ 为坐标原点，

$BC$ ，

$BA$ ，

$BB_{1}$ 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

$\because AA_{1}=AB$ ，

$\therefore BC\times \sqrt{2}AB\times \dfrac{1}{2}=2\sqrt{2}$ ，又

$\dfrac{1}{2}AB\times BC\times AA_{1}=4$ ，解得

$AB=BC=AA_{1}=2$ ，
则

$B(0$ ，0，

$0)$ ，

$A(0$ ，2，

$0)$ ，

$C(2$ ，0，

$0)$ ，

$A_{1}(0$ ，2，

$2)$ ，

$D(1$ ，1，

$1)$ ，
则

$\overrightarrow{BA}=(0$ ，2，

$0)$ ，

$\overrightarrow{BD}=(1$ ，1，

$1)$ ，

$\overrightarrow{BC}=(2$ ，0，

$0)$ ，
设平面

$ABD$ 的一个法向量为

$\overrightarrow{n}=(x$ ，

$y$ ，

$z)$ ，
则

$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{BA}=2y=0}\\ {\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{BD}=x+y+z=0}\end{array}\right.$ ，令

$x=1$ ，则

$y=0$ ，

$z=-1$ ，

$\therefore$ 平面

$ABD$ 的一个法向量为

$\overrightarrow{n}=(1$ ，0，

$-1)$ ，
设平面

$BCD$ 的一个法向量为

$\overrightarrow{m}=(a$ ，

$b$ ，

$c)$ ，

$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{BC}=2a=0}\\ {\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{BD}=a+b+c=0}\end{array}\right.$ ，令

$b=1$ ，则

$a=0$ ，

$c=-1$ ，
平面

$BCD$ 的一个法向量为

$\overrightarrow{m}=(0$ ，1，

$-1)$ ，

$\cos < \overrightarrow{n}$ ，