解答题

全国卷Ⅰ(理)

2004年

21．（本小题满分12分）

设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.

解答

2005年

（21）（本大题满分14分）

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线

交椭圆于A、B两点，与共线

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值

解答

2006年

（21）（本小题满分14分）

已知函数.

（Ⅰ）设讨论的单调性；

（Ⅱ）若对任意恒有，求a的取值范围。

     2007年

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，

过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．

（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；

（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．

解答

全国卷Ⅱ(理)

2004年

21．（本小题满分12分）

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。

（Ⅰ）设l的斜率为1，求与的夹角的大小；

（Ⅱ）设，若λ∈[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围.

解答

2005年

（21）（本小题满分14分）

P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知

与共线，与共线，且．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

解答

2006年

（21）（本小题满分为１４分）

已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且

过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。

       （I）证明为定值；

       （II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。

解答

2007年

21．（本小题满分12分）

设数列的首项．

（1）求的通项公式；

（2）设，证明，其中为正整数．

解答

全国卷Ⅲ(理)

2004年

21．（本小题满分12分）设椭圆的两个焦点是与，

且椭圆上存在一点，使得直线与垂直.

（1）求实数的取值范围；

（2）设是相应于焦点的准线，直线与相交于点，若，

求直线的方程.

解答

2005年

21.（本小题满分14分）

设.两点在抛物线上，是的垂直平分线

1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；

2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围

解答

全国卷Ⅳ(理)

2004年

21．（本小题满分14分）

    双曲线的焦距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），

且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双

曲线的离心率e的取值范围.

 解答

2007年

北京卷(理)

2004年

（19）（本小题满分12分）

    某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=15km，BC=3km，在列车运行

     时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分

     到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行

驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时

间之差 的绝对值称为列车在该站的运行误差。

    （I）分别写出列车在B、C两站的运行误差

    （II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围

    解答

2005年

19 (本小题共12分)

设数列的首项,且,记

(Ⅰ)求

(Ⅱ)判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;

(Ⅲ)求

解答

2006年

(19)(本小题共14分)

    已知点M（-2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|-|PN|=2.记动点P的

轨迹为W.

    (Ⅰ)求W的方程；

    (Ⅱ)若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．

解答

2007年

19．（本小题共13分）

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成

等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，

记，梯形面积为．

（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；

（II）求面积的最大值．

解答

天津卷(理)

2004年

21. （本小题满分12分）

  已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：

  ，

，其中a为常数，k为非零常数。

（1）令，证明数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）当时，求。

解答

2005年

（21）（本小题满分14分）

抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率

为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互

不相同)，且满足

（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程

（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上

（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标

的取值范围

解答

2006年

(21)(本小题满分14分)

已知数列{x_n}、{y_n}满足x₁=x₂=1，y₁=y₂=2，并且 

(为非零参数，n=2，3，4，…)．

(Ⅰ)若x₁、x₃、x₅成等比数列，求参数的值；

(Ⅱ)当＞0时，证明 (n∈N^*)；

(Ⅲ)当＞1时，证明＜(n∈N^*).

解答

2007年

21．（本小题满分14分）

在数列中，，其中．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．

解答

上海卷(理)

2004年

21、(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分

  如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上

的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.

(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)     证明：P-ABC为正四面体；

(2)     若PD=PA, 求二面角D-BC-A的

大小；(结果用反三角函数值表示)

(3)     设棱台DEF-ABC的体积为V, 是

否存在体积为V且各棱长均相等的直

平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC

有相同的棱长和? 若存在,请具体构造

出这样的一个直平行六面体,并给出证

明；若不存在,请说明理由.

  解答

2005年

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，

第3小题满分6分

对定义域是.的函数.，

规定：函数

（1）若函数，，写出函数的解析式；

（2）求问题（1）中函数的值域；

（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数

，及一个的值，使得，并予以证明

解答

2006年

21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，

第3小题满分6分）

已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项

和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），

求数列的通项公式；

（3）若（2）中的数列满足不等式

|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值．

 解答

2007年

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，

第3小题满分9分．

    如果有穷数列（为正整数）满足条件，，

…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，

由组合数组成的数列就是“对称数列”．

（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，

．依次写出的每一项；

（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是

首项为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为何值时，

取得最大值？并求出的最大值；

（3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，

使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个

“对称数列”前项的和．

解答

辽宁卷（理）

2004年

21．（本小题满分14分）

已知函数的最大值不大于，又当

   （1）求a的值；

   （2）设

 解答

2005年

21．（本小题满分14分）

已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），

Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，

并且满足

   （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；

   （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

   （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，

         使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2

         的正切值；若不存在，请说明理由.

解答

2006年（理）

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，，

且a＞0, d＞0.设［1-］上，在处取得

最大值，在，将点依次记为A，

 B， C.

  (I)求

(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值

解答

2007年

21．（本小题满分12分）

已知数列，与函数，，满足条件：

，.

（I）若，，，存在，求的取值范围；

（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，

（用表示）．

解答

江苏卷

2004年

21.已知椭圆的中心在原点，离心率为  EQ \F(1,2) ，一个焦点是F（-m,0）

(m是大于0的常数).    

(Ⅰ)求椭圆的方程；

   (Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，

求直线的斜率.

 解答

2005年

23.（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二.第三小问满分各6分）

设数列的前项和为，已知，且

    ，其中A.B为常数

  ⑴求A与B的值；

  ⑵证明：数列为等差数列；

  ⑶证明：不等式对任何正整数都成立

解答

2006年

（21）（本小题满分14分）

设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），

证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）

解答

2007年

21．（本题满分16分）

已知是不全为零的实数，函数，．

方程有实数根，且的实数根都是的根；反之，

的实数根都是的根．

（1）求的值；（3分）

（2）若，求的取值范围；（6分）

（3）若，，求的取值范围．（7分）

解答

浙江卷(理)

2004年

（21）（本题满分12分）

已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双

曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1。

（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的

  取值范围；

（Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲

线的方程。

解答

2005年

19．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，

从B中摸出一个红球的概率为p．

  (Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好

摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的

分布率及数学期望E．

   (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸

出一个红球的概率是，求p的值．

解答

2006年

（19）如图，椭圆（2，0）、B（0，1）

的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=。

   （Ⅰ）求椭圆方程；

    （Ⅱ）设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF₂的中点，

求证：∠ATM=∠AF₁T。

解答

2007年

（22）（本题15分）设，对任意实数，记．

（I）求函数的单调区间；

（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；

（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

解答

福建卷(理)

2004年

（21）（本小题满分14分）

     已知f(x)=(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数。

（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x₁、x₂.试问：

是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]

恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。

  解答

2005年

21．（本小题满分12分）

已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和

椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点

在椭圆C的右准线上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，

满足cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；

若不存在，请说明理由.

            解答

2006年

（21）（本小题满分12分）

       已知函数

       （I）求在区间上的最大值

       （II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三

  个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

    解答

2007年

21．（本小题满分12分）

等差数列的前项和为．

（Ⅰ）求数列的通项与前项和；

（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

解答

湖北卷(理)

2004年

（21）（本小题满分12分）

某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3；一旦发生，

将造成400万元的损失。现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用。

单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防

措施后此突发事件不发生的概率分别是0.9和0.85。若预防方案允许甲、乙

两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少。

（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值。）

　解答

2005年

21．（本小题满分12分）

设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的

垂直平分线与椭圆相交于C、D两点

 （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

 （Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由

解答

2006年

20．（本小题满分14分）   

   设A、B分别为椭圆（a,b＞0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，

且x=4为它的右准线。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于

异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。

（此题不要求在答题卡上画图）

解答

2007年

20．（本小题满分13分）

已知定义在正实数集上的函数，，其中．

设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．

（I）用表示，并求的最大值；

（II）求证：（）．

 解答

湖南卷(理)

2004年

(21)(本小题满分12分)

 如图,过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线

交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。

  (Ⅰ)设点P分有向线段所成的比为λ，证明

(Ⅱ)设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处

有共同的切线，求圆C的方程。

                                             解答

2005年

20．（本小题满分14分）

自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察

其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，

n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成

正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.

   （Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；

   （Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量

保持不变？（不要求证明）

　 （Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，

则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.

解答

2006年

20．(本小题满分14分)

对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：

1-)为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案

甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其

质量变为a(1≤a≤3)．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(x＞a-1)，用

y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c(0.8＜c＜0.99)是该物体初次清

洗后的清洁度．

(Ⅰ)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；

(Ⅱ)若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水

量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响．

解答

2007年

20．（本小题满分12分）

已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线

相交于两点．

（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；

（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；

若不存在，请说明理由．

解答

广东卷（理）

2004年

21. (12分)设函数   其中常数m为整数.

 (1) 当m为何值时,

 (2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少

存在一点x₀∈(a,b),使g(x₀)=0.

 试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,

在[e^-ｍ-m ,e^2ｍ-m ]内有两个实根.

  解答

2005年

19．（本小题满分14分）

设函数，

且在闭区间[0，7]上，只有

   （Ⅰ）试判断函数的奇偶性；

   （Ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.

解答

2006年

19．（本小题满分14分）

已知公比为q(0＜q＜1)的无穷等比数列{a_n}各项的和为9，无穷等比

数列{a_n²}各项的和为。

（Ⅰ）求数列{a_n}的首项a₁和公比q：

（Ⅱ）对给定的k(k=1,2,…,n),设T^{k}是首项为a_k，公差为2a_k-1的

等差数列，求数列T^{2}的前10项之和：

（Ⅲ）设b_i为数列的第i项，s_n=b₁+b₂+…+b_n，求s_n，并求正整数

m(m＞1),使得存在且不等于零。

（注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷等比数列前n项和的极限）

解答

2007年

20．（本小题满分14分）

已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，

求的取值范围．

 解答

重庆卷(理)

2004年

21．（本小题满分12分）

设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异

两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点

在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程。

2005年

21．（本小题满分12分）

    已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，

    而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.

    （Ⅰ）求双曲线C2的方程；

  （Ⅱ）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2

  的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.

 解答

2006年

（21）（本小题满分12分）

已知定义域为的函数满足。

（Ⅰ）若，求；又若，求；

（Ⅱ）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式；

解答

2007年

21．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）

已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：

．

解答

山东卷(理)

2005年

(21) （本小题满分12分）已知数列的首项前项和为，

且

（I）证明数列是等比数列；

（II）令，求函数在点处的导数

并比较与的大小

解答

2006年

21.（本小题满分12分）

      双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线．

     （Ⅰ）求双曲线C的方程；

     （Ⅱ）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点

（Q点与C的顶点不重合）.当=λ₁=λ₂，且λ₁+λ₂=时，求Q点的坐标．

解答

2007年

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的

最大值为，最小值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），

且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

解答

江西卷(理)

2005年

21．（本小题满分12分）

已知数列

 （1）证明

 （2）求数列的通项公式an.

解答

2006年

21．(本小题满分12分)

   如图，椭圆Q:=1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，过点F的一动直线m绕

点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点．

  (1)求点P的轨迹H的方程；

      (2)若在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ(0＜θ≤).确定θ的值，使

原点距椭圆Q的右准线l最远．此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到

什么位置时，三角形ABD的面积最大?

解答

2007年

21．（本小题满分12分）

设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，

使得．

（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；

（2）过点作直线双曲线的右支于两点，

试确定的范围，使，其中点为坐标原点．

解答

陕西卷(理)

2006年

（21）（本小题满分为１2分）

如图，三定点三动点D、E、M满足

       （I）求动直线DE斜率的变化范围；

       （II）求动点M的轨迹方程。

解答

2007年

21．（本小题满分14分）

已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，

求面积的最大值．

解答

四川卷(理)

2006年

（21）（本小题满分14分）

已知两定点，满足条件的点的轨迹

是曲线，直线与曲线交于两点，如果，

且曲线上存在点，使，求的值和的面积S。

 解答

2007年

（21）（本小题满分12分）

已知函数，设曲线在点处的切线与X轴的交点，

其中x₁为正实数。

(Ⅰ)用x_n表示x_n+1；

(Ⅱ)求证：对一切正整数n，的充要条件是；

(Ⅲ)若x₁=4，记，证明数列{an}成等比数列，并求数列{an}的通项公式。

解答

安徽卷(理)

2006年

（21）（本小题满分12分）

数列的前n项和为S_n，已知，s_n=n²a_n-n(n-1),n=1，2…

（Ⅰ）写出s_n与的递推关系式（n2）,并求s_n关于n的表达式：

（Ⅱ）设求数列｛b_n｝的前n项和T_n。

解答

2007年

20．（本小题满分13分）

在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，

不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把

笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭

小孔．以表示笼内还剩下的果蝇的只数．

（Ⅰ）写出的分布列（不要求写出计算过程）；

（Ⅱ）求数学期望；

（Ⅲ）求概率．

解答

海南宁夏卷(理)

2007年

21．（本小题满分12分）

设函数

（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；

（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．

解答